Google
Câu hỏi: Xác định độ dài trục thực, trục ảo; tiêu cự; tâm sai; tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh và phương trình các đường tiệm cận của mỗi hypebol có phương trình sau
a) \(\dfrac{{{x^2}}}{{16}} - \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1;\)
b) \(4{x^2} - {y^2} = 4;\)
c) \(16{x^2} - 25{y^2} = 400;\)
d) \(16{x^2} - 9{y^2} = 16;\)
e) \({x^2} - {y^2} = 1;\)
f) \(m{x^2} - n{y^2} = 1 (m > 0, n > 0).\)
Vẽ các hypebol có phương trình ở câu a), b) và e).
a) \(\dfrac{{{x^2}}}{{16}} - \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1;\)
b) \(4{x^2} - {y^2} = 4;\)
c) \(16{x^2} - 25{y^2} = 400;\)
d) \(16{x^2} - 9{y^2} = 16;\)
e) \({x^2} - {y^2} = 1;\)
f) \(m{x^2} - n{y^2} = 1 (m > 0, n > 0).\)
Vẽ các hypebol có phương trình ở câu a), b) và e).
Lời giải chi tiết
a) \({a^2} = 16 \Rightarrow a = 4 ; \) \({b^2} = 4 \Rightarrow b = 2; \) \({c^2} = {a^2} + {b^2} = 20 \Rightarrow c = 2\sqrt 5 \).
Độ dài trục thực : \(2a=8.\)
Độ dài trục ảo : \(2b=4.\)
Tiêu cự: \(2c = 4\sqrt 5 \), tâm sai \(e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\).
Các tiêu điểm : \({F_1}( - 2\sqrt 5 ; 0) , {F_2}(2\sqrt 5 ; 0)\)
Các đỉnh : \({A_1}( - 4; 0) , {A_2}(4; 0)\).
Các tiệm cận : \(y = \pm \dfrac{b}{a}x = \pm \dfrac{1}{2}x\)
Hypebol được vẽ như hình 115.
B), c), d), e) làm tương tự.
f) Viết lại phương trình hypebol:
\(\begin{array}{l} \dfrac{{{x^2}}}{{ \dfrac{1}{m}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{ \dfrac{1}{n}}} = 1.\\{a^2} = \dfrac{1}{m} \Rightarrow a = \dfrac{1}{{\sqrt m }} ,\\ {b^2} = \dfrac{1}{n} \Rightarrow b = \dfrac{1}{{\sqrt n }}.\\{c^2} = {a^2} + {b^2} = \dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{n} \\ \Rightarrow c = \sqrt { \dfrac{{m + n}}{{mn}}} .\end{array}\)
Độ dài trục thực : \(2a = \dfrac{2}{{\sqrt m }}\) , độ dài trục ảo : \(2b = \dfrac{2}{{\sqrt n }}\).
Tiêu cự : \(2c = 2\sqrt { \dfrac{{m + n}}{{mn}}} \).
Các tiêu điểm : \({F_1} = \left( { - \sqrt { \dfrac{{m + n}}{{mn}}} ; 0} \right) ,\) \( {F_2} = \left( {\sqrt { \dfrac{{m + n}}{{mn}}} ; 0} \right)\).
Các đỉnh : \({A_1} = \left( { - \dfrac{1}{{\sqrt m }} ; 0} \right) , {A_2} = \left({ \dfrac{1}{{\sqrt m }} ; 0} \right)\).
Các tiệm cận: \(y = \pm \sqrt { \dfrac{m}{n}} . X\).
a) \({a^2} = 16 \Rightarrow a = 4 ; \) \({b^2} = 4 \Rightarrow b = 2; \) \({c^2} = {a^2} + {b^2} = 20 \Rightarrow c = 2\sqrt 5 \).
Độ dài trục thực : \(2a=8.\)
Độ dài trục ảo : \(2b=4.\)
Tiêu cự: \(2c = 4\sqrt 5 \), tâm sai \(e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\).
Các tiêu điểm : \({F_1}( - 2\sqrt 5 ; 0) , {F_2}(2\sqrt 5 ; 0)\)
Các đỉnh : \({A_1}( - 4; 0) , {A_2}(4; 0)\).
Các tiệm cận : \(y = \pm \dfrac{b}{a}x = \pm \dfrac{1}{2}x\)
Hypebol được vẽ như hình 115.
B), c), d), e) làm tương tự.
f) Viết lại phương trình hypebol:
\(\begin{array}{l} \dfrac{{{x^2}}}{{ \dfrac{1}{m}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{ \dfrac{1}{n}}} = 1.\\{a^2} = \dfrac{1}{m} \Rightarrow a = \dfrac{1}{{\sqrt m }} ,\\ {b^2} = \dfrac{1}{n} \Rightarrow b = \dfrac{1}{{\sqrt n }}.\\{c^2} = {a^2} + {b^2} = \dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{n} \\ \Rightarrow c = \sqrt { \dfrac{{m + n}}{{mn}}} .\end{array}\)
Độ dài trục thực : \(2a = \dfrac{2}{{\sqrt m }}\) , độ dài trục ảo : \(2b = \dfrac{2}{{\sqrt n }}\).
Tiêu cự : \(2c = 2\sqrt { \dfrac{{m + n}}{{mn}}} \).
Các tiêu điểm : \({F_1} = \left( { - \sqrt { \dfrac{{m + n}}{{mn}}} ; 0} \right) ,\) \( {F_2} = \left( {\sqrt { \dfrac{{m + n}}{{mn}}} ; 0} \right)\).
Các đỉnh : \({A_1} = \left( { - \dfrac{1}{{\sqrt m }} ; 0} \right) , {A_2} = \left({ \dfrac{1}{{\sqrt m }} ; 0} \right)\).
Các tiệm cận: \(y = \pm \sqrt { \dfrac{m}{n}} . X\).