Google
Câu hỏi: Cho số \(m > 0\). Chứng minh rằng hypebol \((H)\) có các tiêu điểm \({F_1}( - m ; - m), {F_2}(m; m)\) và giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm trên \((H)\) tới các tiêu điểm là \(2m,\) có phương trình \(xy = \dfrac{{{m^2}}}{2}\).
Lời giải chi tiết
Xét điểm tùy ý \(M(x; y) \in (H)\). Ta có
\(\begin{array}{l}M \in (H) \Leftrightarrow |M{F_1} - M{F_2}| = 2m\\ \Leftrightarrow \left| {\sqrt {{{(x + m)}^2} + {{(y + m)}^2}} - \sqrt {{{(x - m)}^2} + {{(y - m)}^2}} } \right| = 2m\\ \Leftrightarrow {(x + m)^2} + {(y + m)^2} + {(x - m)^2} + {(y - m)^2}\\ - 2\sqrt {{{(x + m)}^2} + {{(y + m)}^2}} .\sqrt {{{(x - m)}^2} + {{(y - m)}^2}} = 4{m^2} \\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = \sqrt {{x^2} + {y^2} + 2{m^2} + (2mx + 2my)} \\.\sqrt {{x^2} + {y^2} + 2{m^2} - (2mx + 2my)} \\ \Leftrightarrow {\left({{x^2} + {y^2}} \right)^2} = {\left({{x^2} + {y^2} + 2{m^2}} \right)^2} - {(2mx + 2my)^2}\\ \Leftrightarrow xy = \dfrac{{{m^2}}}{2}.\end{array}\)
Chú ý rằng: Với \(m = \sqrt 2 \) ta có hypebol \(y = \dfrac{1}{x}\).
Xét điểm tùy ý \(M(x; y) \in (H)\). Ta có
\(\begin{array}{l}M \in (H) \Leftrightarrow |M{F_1} - M{F_2}| = 2m\\ \Leftrightarrow \left| {\sqrt {{{(x + m)}^2} + {{(y + m)}^2}} - \sqrt {{{(x - m)}^2} + {{(y - m)}^2}} } \right| = 2m\\ \Leftrightarrow {(x + m)^2} + {(y + m)^2} + {(x - m)^2} + {(y - m)^2}\\ - 2\sqrt {{{(x + m)}^2} + {{(y + m)}^2}} .\sqrt {{{(x - m)}^2} + {{(y - m)}^2}} = 4{m^2} \\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = \sqrt {{x^2} + {y^2} + 2{m^2} + (2mx + 2my)} \\.\sqrt {{x^2} + {y^2} + 2{m^2} - (2mx + 2my)} \\ \Leftrightarrow {\left({{x^2} + {y^2}} \right)^2} = {\left({{x^2} + {y^2} + 2{m^2}} \right)^2} - {(2mx + 2my)^2}\\ \Leftrightarrow xy = \dfrac{{{m^2}}}{2}.\end{array}\)
Chú ý rằng: Với \(m = \sqrt 2 \) ta có hypebol \(y = \dfrac{1}{x}\).