Bài 78 trang 115 SBT Hình học 10 Nâng cao

Câu hỏi: Cho hai điểm \(A(-1; 0), B(1; 0)\) và đường thẳng \(\Delta : x -  \dfrac{1}{4} = 0\).

Câu a​

Tìm tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(MB=2MH,\) với \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên\(\Delta \).
Giải chi tiết:
Xét \(M(x; y).\) Ta có
\(\begin{array}{l}MB = 2MH    \Leftrightarrow   M{B^2} = 4M{H^2}  \\  \Leftrightarrow  {(x - 1)^2} + {y^2} = 4{\left({x -  \dfrac{1}{4}} \right)^2}\\\Leftrightarrow   3{x^2} - {y^2} =  \dfrac{3}{4}   \\ \Leftrightarrow     \dfrac{{{x^2}}}{{ \dfrac{1}{4}}} -  \dfrac{{{y^2}}}{{ \dfrac{3}{4}}} = 1. (1)\end{array}\)
Tập hợp các điểm \(M\) cần tìm là hypebol có phương trình (1).

Câu b​

Tìm tập hợp các điểm \(N\) sao cho các đường thẳng \(AN\) và \(BN\) có tích các hệ số góc bằng \(2.\)
Giải chi tiết:
Xét \(N(x; y)\) thì \(\overrightarrow {AN}  = (x + 1; y),  \overrightarrow {BN}  = (x - 1; y)\). Rõ ràng \(x \ne  - 1\) và \(x \ne 1\) (vì nếu không thì các đường thẳng \(AN\) và \(BN\) lần lượt có hệ số góc \({k_1} =  \dfrac{y}{{x + 1}},  {k_2} =  \dfrac{y}{{x - 1}}\).
Khi đó :
\({k_1}.{k_2} = 2    \Leftrightarrow     \dfrac{y}{{x + 1}}. \dfrac{y}{{x - 1}} = 2\)
\(    \Leftrightarrow     \dfrac{{{y^2}}}{{{x^2} - 1}} = 2    \Leftrightarrow    {y^2} = 2{x^2} - 2 \)
\(   \Leftrightarrow    \dfrac{{{x^2}}}{1} -  \dfrac{{{y^2}}}{2} = 1   \)         (2)
Tập hợp các điểm \(N\) cần tìm là hypebol có phương trình (2) bỏ đi hai đỉnh : \((-1; 0)\) và \((1; 0).\)