Google
Câu hỏi: Cho hypebol \((H): { \dfrac{x}{4}^2} - \dfrac{{{y^2}}}{5} = 1\) và đường thẳng \(\Delta : x - y + 4 = 0\).
Giải chi tiết:
\((H): \dfrac{{{x^2}}}{4} - \dfrac{{{y^2}}}{5}\)
\(= 1 \Leftrightarrow 5{x^2} - 4{y^2} - 20 = 0\).
\({a^2} = 4 \Rightarrow a = 2 , \) \({b^2} = 5 \Rightarrow b = \sqrt {5 } ,\) \( {c^2} = {b^2} + {a^2} = 9 \Rightarrow c = 3\).
\((H)\) có hai nhánh : nhánh trái ứng với \(x \le - 2\), nhánh phải ứng với \(x \ge 2\). Hoành độ giao điểm của \((H)\) và \(\Delta \) là nghiệm của phương trình :
\(5{x^2} - 4{(x + m)^2} - 20 = 0\) hay \({x^2} - 8mx - 4({m^2} + 5) = 0\). (1)
Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu với mọi \(m\). Do đó \(\Delta \) luôn cắt \((H)\) tại hai điểm \(M\) và \(N\) thuộc hai nhánh khác nhau.
Theo giả thiết \(x_M < x_N\) nên \(M\) thuộc nhánh trái, \(N\) thuộc nhánh phải.
Giải chi tiết:
\((H)\) có các tiêu điểm \({F_1}( - 3; 0) , {F_2}(3; 0)\).
\(\begin{array}{l}{F_2}N = \left| {a - \dfrac{c}{a}{x_N}} \right| = \left| {2 - \dfrac{3}{2}{x_N}} \right| \\= \dfrac{3}{2}{x_N} - 2 ({x_N} \ge 2)\\{F_1}M = \left| {a + \dfrac{c}{a}{x_M}} \right| = \left| {2 + \dfrac{3}{2}{x_M}} \right|\\ = - \dfrac{3}{2}{x_M} - 2 ({x_M} \le - 2)\\{F_2}N = 2{F_1}M \\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}{x_N} - 2 = 2\left({ - \dfrac{3}{2}{x_M} - 2} \right) \\ \Leftrightarrow 3{x_N} + 6{x_M} + 4 = 0 (2)\end{array}\)
\({x_M}, {x_N}\) là nghiệm của (1) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} + {x_N} = 8m (3) \\{x_M}.{x_N} = - 4({m^2} + 5) (4)\end{array} \right.\)
Giải (2) và (3) ta được: \({x_M} = - \dfrac{4}{3} - 8m ,\) \( {x_N} = \dfrac{4}{3} + 16m\). Thay \({x_M}, {x_N}\) vào (4) ta có
\(\begin{array}{l}\left( { - \dfrac{4}{3} - 8m} \right)\left({ \dfrac{4}{3} + 16m} \right)\\ = - 4({m^2} + 5) \\ \Leftrightarrow 279{m^2} + 72m - 41 = 0\\ \Leftrightarrow m = \dfrac{{ - 12 \pm \sqrt {1415} }}{{93}} .\end{array}\)
Vậy với \(m = \dfrac{{ - 12 \pm \sqrt {1415} }}{{93}}\) thì \({F_2}N = 2{F_1}M\).
Câu a
Chứng minh rằng \(\Delta \) luôn cắt \((H)\) tại hai điểm \(M, N\) thuộc hai nhánh khác nhau của \((H) (x_M < x_N);\)Giải chi tiết:
\((H): \dfrac{{{x^2}}}{4} - \dfrac{{{y^2}}}{5}\)
\(= 1 \Leftrightarrow 5{x^2} - 4{y^2} - 20 = 0\).
\({a^2} = 4 \Rightarrow a = 2 , \) \({b^2} = 5 \Rightarrow b = \sqrt {5 } ,\) \( {c^2} = {b^2} + {a^2} = 9 \Rightarrow c = 3\).
\((H)\) có hai nhánh : nhánh trái ứng với \(x \le - 2\), nhánh phải ứng với \(x \ge 2\). Hoành độ giao điểm của \((H)\) và \(\Delta \) là nghiệm của phương trình :
\(5{x^2} - 4{(x + m)^2} - 20 = 0\) hay \({x^2} - 8mx - 4({m^2} + 5) = 0\). (1)
Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu với mọi \(m\). Do đó \(\Delta \) luôn cắt \((H)\) tại hai điểm \(M\) và \(N\) thuộc hai nhánh khác nhau.
Theo giả thiết \(x_M < x_N\) nên \(M\) thuộc nhánh trái, \(N\) thuộc nhánh phải.
Câu b
Gọi \(F_1\) là tiêu điểm trái và \(F_2\) là tiêu điểm phải cả \((H)\). Xác định \(m\) để \(F_2N=2F_1M.\)Giải chi tiết:
\((H)\) có các tiêu điểm \({F_1}( - 3; 0) , {F_2}(3; 0)\).
\(\begin{array}{l}{F_2}N = \left| {a - \dfrac{c}{a}{x_N}} \right| = \left| {2 - \dfrac{3}{2}{x_N}} \right| \\= \dfrac{3}{2}{x_N} - 2 ({x_N} \ge 2)\\{F_1}M = \left| {a + \dfrac{c}{a}{x_M}} \right| = \left| {2 + \dfrac{3}{2}{x_M}} \right|\\ = - \dfrac{3}{2}{x_M} - 2 ({x_M} \le - 2)\\{F_2}N = 2{F_1}M \\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}{x_N} - 2 = 2\left({ - \dfrac{3}{2}{x_M} - 2} \right) \\ \Leftrightarrow 3{x_N} + 6{x_M} + 4 = 0 (2)\end{array}\)
\({x_M}, {x_N}\) là nghiệm của (1) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} + {x_N} = 8m (3) \\{x_M}.{x_N} = - 4({m^2} + 5) (4)\end{array} \right.\)
Giải (2) và (3) ta được: \({x_M} = - \dfrac{4}{3} - 8m ,\) \( {x_N} = \dfrac{4}{3} + 16m\). Thay \({x_M}, {x_N}\) vào (4) ta có
\(\begin{array}{l}\left( { - \dfrac{4}{3} - 8m} \right)\left({ \dfrac{4}{3} + 16m} \right)\\ = - 4({m^2} + 5) \\ \Leftrightarrow 279{m^2} + 72m - 41 = 0\\ \Leftrightarrow m = \dfrac{{ - 12 \pm \sqrt {1415} }}{{93}} .\end{array}\)
Vậy với \(m = \dfrac{{ - 12 \pm \sqrt {1415} }}{{93}}\) thì \({F_2}N = 2{F_1}M\).
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!