Google
Câu hỏi: Viết phương trình chính tắc của hypebol (H), biết:
a) Tiêu điểm là \({F_1}\left( { - 3;0} \right)\) và đỉnh là \({A_2}\left( {2;0} \right)\)
b) Đỉnh là \({A_2}\left( {4;0} \right)\) và tiêu cự bằng 10
c) TIêu điểm \({F_2}\left( {4;0} \right)\) và phương trình một đường tiệm cận là \(y = - \frac{{\sqrt 7 }}{3}x\)
a) Tiêu điểm là \({F_1}\left( { - 3;0} \right)\) và đỉnh là \({A_2}\left( {2;0} \right)\)
b) Đỉnh là \({A_2}\left( {4;0} \right)\) và tiêu cự bằng 10
c) TIêu điểm \({F_2}\left( {4;0} \right)\) và phương trình một đường tiệm cận là \(y = - \frac{{\sqrt 7 }}{3}x\)
Phương pháp giải
Phương trình của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\). Khi đó ta có:
+ Tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\)
+ Các đỉnh là \({A_1}\left( { - a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right)\)
+ Tiêu cự: \(2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
+ Hai đường tiệm cận của hypebol (H) lần lượt có phương trình \(y = - \frac{b}{a}x,y = \frac{b}{a}x\)
Lời giải chi tiết
a) Tiêu điểm là \({F_1}\left( { - 3;0} \right)\) và đỉnh là \({A_2}\left( {2;0} \right)\)
+ Hypebol có tiêu điểm là \({F_1}\left( { - 3;0} \right) \Rightarrow c = 3\)
+ Hypebol có đỉnh là \({A_2}\left( {2;0} \right) \Rightarrow a = 2\)
Khi đó \({b^2} = {c^2} - {a^2} = {3^2} - {2^2} = 5\)
Khi đó phương trình chính tắc của hypebol là: \(\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{5} = 1\)
b) Đỉnh là \({A_2}\left( {4;0} \right)\) và tiêu cự bằng 10
+ Hypebol có đỉnh là \({A_2}\left( {4;0} \right) \Rightarrow a = 4\)
+ Hypebol có tiêu cự bằng 10 \( \Rightarrow 2c = 10 \Rightarrow c = 5\)
Khi đó \({b^2} = {c^2} - {a^2} = {5^2} - {4^2} = 9\)
Khi đó phương trình chính tắc của hypebol là: \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)
c) TIêu điểm \({F_2}\left( {4;0} \right)\) và phương trình một đường tiệm cận là \(y = - \frac{{\sqrt 7 }}{3}x\)
+ Hypebol có tiêu điểm là \({F_2}\left( {4;0} \right) \Rightarrow c = 4\)
+ Hypebol có đường tiệm cận là \(y = - \frac{{\sqrt 7 }}{3}x \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{{\sqrt 7 }}{3} \Rightarrow \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} = \frac{7}{9} \Rightarrow {b^2} = \frac{7}{9}{a^2}\)
Với \(c = 4 \Rightarrow {c^2} = {a^2} + {b^2} = 16 \Rightarrow \frac{7}{9}{b^2} + {b^2} = 16 \Rightarrow \frac{{16}}{9}{b^2} = 16 \Rightarrow {b^2} = 9 \Rightarrow {a^2} = 7\)
Khi đó phương trình chính tắc của hypebol là: \(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{7} = 1\)
Phương trình của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\). Khi đó ta có:
+ Tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\)
+ Các đỉnh là \({A_1}\left( { - a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right)\)
+ Tiêu cự: \(2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
+ Hai đường tiệm cận của hypebol (H) lần lượt có phương trình \(y = - \frac{b}{a}x,y = \frac{b}{a}x\)
Lời giải chi tiết
a) Tiêu điểm là \({F_1}\left( { - 3;0} \right)\) và đỉnh là \({A_2}\left( {2;0} \right)\)
+ Hypebol có tiêu điểm là \({F_1}\left( { - 3;0} \right) \Rightarrow c = 3\)
+ Hypebol có đỉnh là \({A_2}\left( {2;0} \right) \Rightarrow a = 2\)
Khi đó \({b^2} = {c^2} - {a^2} = {3^2} - {2^2} = 5\)
Khi đó phương trình chính tắc của hypebol là: \(\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{5} = 1\)
b) Đỉnh là \({A_2}\left( {4;0} \right)\) và tiêu cự bằng 10
+ Hypebol có đỉnh là \({A_2}\left( {4;0} \right) \Rightarrow a = 4\)
+ Hypebol có tiêu cự bằng 10 \( \Rightarrow 2c = 10 \Rightarrow c = 5\)
Khi đó \({b^2} = {c^2} - {a^2} = {5^2} - {4^2} = 9\)
Khi đó phương trình chính tắc của hypebol là: \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)
c) TIêu điểm \({F_2}\left( {4;0} \right)\) và phương trình một đường tiệm cận là \(y = - \frac{{\sqrt 7 }}{3}x\)
+ Hypebol có tiêu điểm là \({F_2}\left( {4;0} \right) \Rightarrow c = 4\)
+ Hypebol có đường tiệm cận là \(y = - \frac{{\sqrt 7 }}{3}x \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{{\sqrt 7 }}{3} \Rightarrow \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} = \frac{7}{9} \Rightarrow {b^2} = \frac{7}{9}{a^2}\)
Với \(c = 4 \Rightarrow {c^2} = {a^2} + {b^2} = 16 \Rightarrow \frac{7}{9}{b^2} + {b^2} = 16 \Rightarrow \frac{{16}}{9}{b^2} = 16 \Rightarrow {b^2} = 9 \Rightarrow {a^2} = 7\)
Khi đó phương trình chính tắc của hypebol là: \(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{7} = 1\)