Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi
Phương pháp giải
Cho hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
+ Hai đường tiệm cận \(y = - \frac{b}{a}x\) và \(y = \frac{b}{a}x\)
Lời giải chi tiết
Gọi PTCT của hypebol là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Hai đường tiệm cận \({d_1}:y = - \frac{b}{a}x\) và \({d_2}:y = \frac{b}{a}x\)
Lấy \(M({x_0};{y_0})\) bất kì thuộc hypebol.
\(d(M,{d_1}) = \frac{{\left| {\frac{b}{a}{x_0} + {y_0}} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2} + 1} }};d(M,{d_2}) = \frac{{\left| {\frac{b}{a}{x_0} - {y_0}} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2} + 1} }}.\)
\( \Rightarrow d(M,{d_1}).d(M,{d_2}) = \frac{{\left| {\left( {\frac{b}{a}{x_0} + {y_0}} \right)\left( {\frac{b}{a}{x_0} - {y_0}} \right)} \right|}}{{{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2} + 1}} = \frac{{\left| {{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2}{x_0}^2 - {y_0}^2} \right|}}{{{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2} + 1}}\)
Mà \(M({x_0};{y_0})\)thuộc hypebol nên \(\frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} - \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} = 1\) hay \({\left( {\frac{b}{a}} \right)^2}{x_0}^2 - {y_0}^2 = {b^2}\)
\( \Rightarrow d(M,{d_1}).d(M,{d_2}) = \frac{{{b^2}}}{{{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2} + 1}} = \frac{{{a^2}.{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}\) là hằng số (đpcm)
Cho hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
+ Hai đường tiệm cận \(y = - \frac{b}{a}x\) và \(y = \frac{b}{a}x\)
Lời giải chi tiết
Gọi PTCT của hypebol là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Hai đường tiệm cận \({d_1}:y = - \frac{b}{a}x\) và \({d_2}:y = \frac{b}{a}x\)
Lấy \(M({x_0};{y_0})\) bất kì thuộc hypebol.
\(d(M,{d_1}) = \frac{{\left| {\frac{b}{a}{x_0} + {y_0}} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2} + 1} }};d(M,{d_2}) = \frac{{\left| {\frac{b}{a}{x_0} - {y_0}} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2} + 1} }}.\)
\( \Rightarrow d(M,{d_1}).d(M,{d_2}) = \frac{{\left| {\left( {\frac{b}{a}{x_0} + {y_0}} \right)\left( {\frac{b}{a}{x_0} - {y_0}} \right)} \right|}}{{{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2} + 1}} = \frac{{\left| {{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2}{x_0}^2 - {y_0}^2} \right|}}{{{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2} + 1}}\)
Mà \(M({x_0};{y_0})\)thuộc hypebol nên \(\frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} - \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} = 1\) hay \({\left( {\frac{b}{a}} \right)^2}{x_0}^2 - {y_0}^2 = {b^2}\)
\( \Rightarrow d(M,{d_1}).d(M,{d_2}) = \frac{{{b^2}}}{{{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2} + 1}} = \frac{{{a^2}.{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}\) là hằng số (đpcm)