Bài 8 trang 156 SGK Đại số 10

Câu hỏi: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào \(x\)

Câu a​

\(\displaystyle A = \sin ({\pi \over 4} + x) - \cos ({\pi \over 4} - x)\)
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức:
\(\begin{array}{l}
\sin \left({a + b} \right) = \sin a\cos b + \sin b\cos a\\
\cos \left({a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b
\end{array}\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
A = \sin \left({\dfrac{\pi }{4} + x} \right) - \cos \left({\dfrac{\pi }{4} - x} \right)\\
= \sin \dfrac{\pi }{4}\cos x + \sin x\cos \dfrac{\pi }{4} \\- \left({\cos \dfrac{\pi }{4}\cos x + \sin \dfrac{\pi }{4}\sin x} \right)\\
= \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x \\- \left({\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x} \right)\\
= \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x \\- \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x\\
= 0
\end{array}\)
Cách khác:
\(\begin{array}{l}
A = \sin \left({\dfrac{\pi }{4} + x} \right) - \cos \left({\dfrac{\pi }{4} - x} \right)\\
= \sin \left({\dfrac{\pi }{4} + x} \right) - \sin \left[ {\dfrac{\pi }{2} - \left({\dfrac{\pi }{4} - x} \right)} \right]\\
= \sin \left({\dfrac{\pi }{4} + x} \right) - \sin \left({\dfrac{\pi }{4} + x} \right)\\
= 0
\end{array}\)

Câu b​

\(\displaystyle B = \cos ({\pi \over 6} - x) - \sin ({\pi \over 3} + x)\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
B = \cos \left({\dfrac{\pi }{6} - x} \right) - \sin \left({\dfrac{\pi }{3} + x} \right)\\
= \cos \dfrac{\pi }{6}\cos x + \sin \dfrac{\pi }{6}\sin x\\
- \left({\sin \dfrac{\pi }{3}\cos x + \cos \dfrac{\pi }{3}\sin x} \right)\\
= \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x + \dfrac{1}{2}\sin x\\
- \left({\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x + \dfrac{1}{2}\sin x} \right)\\
= \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x + \dfrac{1}{2}\sin x\\
- \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x - \dfrac{1}{2}\sin x\\
= 0
\end{array}\)
Cách khác:
\(\begin{array}{l}
B = \cos \left({\dfrac{\pi }{6} - x} \right) - \sin \left({\dfrac{\pi }{3} + x} \right)\\
= \sin \left[ {\dfrac{\pi }{2} - \left({\dfrac{\pi }{6} - x} \right)} \right] - \sin \left({\dfrac{\pi }{3} + x} \right)\\
= \sin \left({\dfrac{\pi }{3} + x} \right) - \sin \left({\dfrac{\pi }{3} + x} \right)\\
= 0
\end{array}\)

Câu c​

\(\displaystyle C = {\sin ^2}x + \cos ({\pi \over 3} - x)\cos({\pi \over 3} + x)\)
Lời giải chi tiết:
$C=\sin ^{2} x+\cos \left(\frac{\pi}{3}-x\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}+x\right)$
$=\sin ^{2} x+\left[\cos \frac{\pi}{3} \cos x+\sin \frac{\pi}{3} \sin x\right]\left[\cos \frac{\pi}{3} \cos x-\sin \frac{\pi}{3} \sin x\right]$
$=\sin ^{2} x+\cos ^{2} \frac{\pi}{3} \cos ^{2} x-\sin ^{2} \frac{\pi}{3} \sin ^{2} x$
$=\sin ^{2} x+\frac{1}{4} \cos ^{2} x-\frac{3}{4} \sin ^{2} x=\frac{1}{4}\left(\cos ^{2} x+\sin ^{2} x\right)=\frac{1}{4}$
Vậy biểu thức $C$ không phụ thuộc vào $x$

Cách khác:
$C=\sin ^{2} x+\cos \left(\frac{\pi}{3}-x\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}+x\right)$
$=\sin ^{2} x+\frac{1}{2}\left[\cos \left(\frac{\pi}{3}-x+\frac{\pi}{3}+x\right)+\cos \left(\frac{\pi}{3}-x-\frac{\pi}{3}-x\right)\right]$
$=\sin ^{2} x+\frac{1}{2}\left(\cos \frac{2 \pi}{3}+\cos (-2 x)\right)$
$=\sin ^{2} x+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}+\cos 2 x\right)$
$=\sin ^{2} x+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}+1-2 \sin ^{2} x\right)$
$=\sin ^{2} x+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-2 \sin ^{2} x\right)$
$=\sin ^{2} x+\frac{1}{4}-\sin ^{2} x$
$=\frac{1}{4}$

Câu d​

\(\displaystyle D = {{1 - \cos 2x + \sin 2x} \over {1 + \cos 2x + \sin 2x}}.\cot x\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức:
\(\begin{array}{l}
1 + \cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha \\
1 - \cos 2\alpha = 2{\sin ^2}\alpha
\end{array}\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
D = \dfrac{{1 - \cos 2x + \sin 2x}}{{1 + \cos 2x + \sin 2x}}.\cot x\\
= \dfrac{{1 - \left({1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + \sin 2x}}{{1 + \left({2{{\cos }^2}x - 1} \right) + \sin 2x}}.\cot x\\
= \dfrac{{2{{\sin }^2}x + 2\sin x\cos x}}{{2{{\cos }^2}x + 2\sin x\cos x}}.\cot x\\
= \dfrac{{2\sin x\left({\sin x + \cos x} \right)}}{{2\cos x\left({\sin x + \cos x} \right)}}.\cot x\\
= \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}.\dfrac{{\cos x}}{{\sin x}}\\
= 1
\end{array}\)
Vậy biểu thức \(D\) không phụ thuộc vào \(x.\)