Bài 2 trang 155 SGK Đại số 10

Phương pháp giải
Áp dụng công thức: \(\tan \alpha  = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }},\cot \alpha  = {{{\rm{cos}}\alpha } \over {\sin \alpha }}.\)
Lời giải chi tiết
Trên đường tròn lượng giác, lấy điểm \(M(x; y)\) sao cho số đo cung \(AM\) bằng \(\alpha \).
Khi đó,
+) Nếu \(\cos \alpha \ne 0\) thì tỉ số \(\dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \dfrac{y}{x}\) được gọi là \(\tan \alpha \).
+) Nếu \(\sin \alpha \ne 0\) thì \(\dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \dfrac{x}{y}\) được gọi là \(\cot \alpha \).
Lấy điểm \(M'\) đối xứng với \(M\) qua \(O\). Khi đó các cung lượng giác có điểm đầu là \(A\), điểm cuối là \(M\) và cung lượng giác có điểm đầu là \(A\) điểm cuối là \(M'\) hơn kém nhau \(k\pi, k\in Z \) hay \(sdAM'=\alpha +k\pi \)
Dễ thấy \(M'\left( { - x; - y} \right)\) nên:
\(\tan \left( {\alpha  + k\pi } \right) = \dfrac{{ - y}}{{ - x}} = \dfrac{y}{x} = \tan \alpha \) và \(\cot \left( {\alpha  + k\pi } \right) = \dfrac{{ - x}}{{ - y}} = \dfrac{x}{y} = \cot \alpha \)
Cách khác:
\(\tan \alpha  = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }},\cot \alpha  = {{{\rm{cos}}\alpha } \over {\sin \alpha }}\)
Suy ra \(\tan (\alpha  + k\pi) = {{\sin (\alpha  + k\pi)} \over {\cos (\alpha  + k\pi)}}\)
+) Nếu \(k\) chẵn ta có:
\(\sin(α+kπ) = \sin α\)
\(\cos(α+kπ) = \cos α\)
+) Nếu \(k\) lẻ ta có:
\(\sin(α+kπ) = - \sin α\)
\(\cos(α+kπ) = - \cos α\)
Suy ra \(\tan(α+kπ) = \tanα ;   k ∈\mathbb Z.\)
Tương tự ta có: \(\cot(α+kπ) = \cotα;   k ∈\mathbb Z.\)