Google
Câu hỏi: Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối diện của tứ diện.
Phương pháp giải
- Chứng minh khoảng cách giữa hai cạnh đối của tứ diện đều chính là độ dài đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh đối diện.
- Tính toán dựa vào các tính chất tam giác đều.
Lời giải chi tiết
Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC\),
Ta có: \(\Delta ABC = \Delta DBC(c. C. C)\) \( \Rightarrow AN = DN\) (hai đường trung tuyến tương ứng)
\(\Rightarrow \Delta AND\) cân tại \(N\).
\(\Rightarrow\) Trung tuyến \(MN\) đồng thời là đường cao \(\Rightarrow MN\bot AD (1)\)
Chứng minh tương tự, \(\Delta MBC\) cân tại \(M \Rightarrow MN\bot BC (2)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(MN\) là đường vuông góc chung của \(BC\) và \(AD\).
\(\Rightarrow d\left( {AD; BC} \right) = MN\)
Tam giác \(ABN\) vuông tại N nên:
\(AN = \sqrt {A{B^2} - B{N^2}} \) \(= \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}}\) \( = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(AMN\) ta có:
\(MN = \sqrt {A{N^2} - A{M^2}} = \sqrt {{{3{a^2}} \over 4} - {{{a^2}} \over 4}} = {{a\sqrt 2 } \over 2}\)
Vậy \(d\left( {AD; BC} \right) = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
- Chứng minh khoảng cách giữa hai cạnh đối của tứ diện đều chính là độ dài đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh đối diện.
- Tính toán dựa vào các tính chất tam giác đều.
Lời giải chi tiết
Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC\),
Ta có: \(\Delta ABC = \Delta DBC(c. C. C)\) \( \Rightarrow AN = DN\) (hai đường trung tuyến tương ứng)
\(\Rightarrow \Delta AND\) cân tại \(N\).
\(\Rightarrow\) Trung tuyến \(MN\) đồng thời là đường cao \(\Rightarrow MN\bot AD (1)\)
Chứng minh tương tự, \(\Delta MBC\) cân tại \(M \Rightarrow MN\bot BC (2)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(MN\) là đường vuông góc chung của \(BC\) và \(AD\).
\(\Rightarrow d\left( {AD; BC} \right) = MN\)
Tam giác \(ABN\) vuông tại N nên:
\(AN = \sqrt {A{B^2} - B{N^2}} \) \(= \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}}\) \( = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(AMN\) ta có:
\(MN = \sqrt {A{N^2} - A{M^2}} = \sqrt {{{3{a^2}} \over 4} - {{{a^2}} \over 4}} = {{a\sqrt 2 } \over 2}\)
Vậy \(d\left( {AD; BC} \right) = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).