Bài 5 trang 119 SGK Hình học 11

Phương pháp giải
a) Chứng minh B'D vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mp\((BA'C')\).
b) Chứng minh \((BA'C') // (ACD')\). Xác định khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
Lời giải chi tiết

A) Ta có:
\(\begin{array}{l}
BB' \bot \left({A'B'C'D'} \right) \Rightarrow BB' \bot A'C'\\
\left\{ \begin{array}{l}
A'C' \bot B'D'\\
A'C' \bot BB'
\end{array} \right. \Rightarrow A'C' \bot \left({BB'D'D} \right)\\
\Rightarrow A'C' \bot B'D\\
DC \bot \left({BCC'B'} \right) \Rightarrow DC \bot BC'\\
\left\{ \begin{array}{l}
BC' \bot B'C\\
BC' \bot DC
\end{array} \right. \Rightarrow BC' \bot \left({A'B'CD} \right)\\
\Rightarrow BC' \bot B'D\\
\left\{ \begin{array}{l}
B'D \bot A'C'\\
B'D \bot BC'
\end{array} \right. \Rightarrow B'D \bot \left({BA'C'} \right)
\end{array}\)
Cách khác:
Ta có \(B'A' = B'B = B'C'\)
\(\Rightarrow B'\) thuộc trục của tam giác \(A'BC'\) (1)
\(DA' = DB = DC'\) (đường chéo các hình vuông bằng nhau)
\(\Rightarrow D\) cũng thuộc trục của tam giác \(A'BC' \) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow B'D\) là trục của \((BA'C')\) \(\Rightarrow B'D\bot (BA'C')\).
b) Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
BC'//AD'\\
A'C'//AC\\
BC', A'C' \subset \left({BA'C'} \right)\\
AD', AC \subset \left({ACD'} \right)
\end{array} \right.\)
\(\Rightarrow \left( {BA'C'} \right)//\left({ACD'} \right)\)
Mà \(B'D \bot \left( {BA'C'} \right)\) nên \(B'D \bot \left( {ACD'} \right)\)
Gọi \(G = B'D \cap \left( {BA'C'} \right); H = B'D \cap \left({ACD'} \right) \)
\(\Rightarrow d\left( {\left( {BA'C'} \right);\left({ACD'} \right)} \right) = GH\)
Gọi O, O' lần lượt là tâm các hình vuông ABCD, A'B'C'D' ta có:
\(BO'//D'O\) nên \(O'G//D'H\), mà \(O'\) là trung điểm của \(B'D' \Rightarrow G\) là trung điểm của \(B'H\).
\(\Rightarrow GB'=GH\) (3)
\(BO'//D'O\) nên \(OH//GB\), mà \(O\) là trung điểm của \(BD \Rightarrow H\) là trung điểm của \(DG\).
\(\Rightarrow HG=HD\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: \(GB' = GH = HD \Rightarrow GH = \dfrac{1}{3}B'D\)
Do \(ABCD. A'B'C'D'\) là hình lập phương cạnh \(a\) nên:
\(\begin{array}{l}
B'D = \sqrt {B'{B^2} + B{D^2}} \\
= \sqrt {B'{B^2} + B{A^2} + A{D^2}} \\
= \sqrt {{a^2} + {a^2} + {a^2}} \\
= a\sqrt 3
\end{array}\)
\(\Rightarrow HG = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy \(d\left( {\left( {BA'C'} \right);\left({ACD'} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
c) \(BC' ⊂ (BA'C')\); \(CD' ⊂ (ACD')\), mà \(\left( {BA'C'} \right)//\left({ACD'} \right)\)
Vậy \(d(BC', CD') = d((BA'C'),(ACD'))= \dfrac{a\sqrt{3}}{3}.\)