Google
Câu hỏi: Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=BD=AD=2a,AC=a\sqrt{7},BC=a\sqrt{3}$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB,CD$ bằng $a$. Tính thể tích của khối tứ diện $ABCD$.
A. $\dfrac{2\sqrt{6}{{a}^{3}}}{3}$.
B. $\dfrac{2\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$.
C. $2\sqrt{6}{{a}^{3}}$.
D. $2\sqrt{2}{{a}^{3}}$.
Do $AB=BD=AD=2a,AC=a\sqrt{7},BC=a\sqrt{3}$ nên $\Delta ABD$ đều và $\Delta ABC$ vuông tại $B$.
Dựng hình chữ nhật $ABCE$ $\Rightarrow AB\parallel EC\Rightarrow AB\parallel \left( DEC \right)$ $\Rightarrow d\left( AB,CD \right)=d\left( AB,\left( CED \right) \right)=a$.
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CE$ và $H$ là hình chiếu của $D$ lên $MN$.
Ta có:$\left\{ \begin{matrix}
AB\bot DM \\
AB\bot MN \\
\end{matrix} \right. $ $ \Rightarrow AB\bot \left( DMN \right)\Rightarrow AB\bot DH$.
Mà $DM\bot MN$ $\Rightarrow DH\bot \left( ABCD \right)$.
Tam giác $DMN$ có $DM=\dfrac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$, $MN=BC=a\sqrt{3}$.
$\Rightarrow \Delta DMN$ cân tại $M$ và $MI=d\left( M,\left( DEC \right) \right)=a$. $MI$ cũng là đường trung tuyến của tam giác $\Delta DMN$.
$\Delta DMI$ vuông tại $I$ $\Rightarrow DI=\sqrt{D{{M}^{2}}-M{{I}^{2}}}=a\sqrt{2}$.
Mà $DN=2DI$ $\Rightarrow DN=2a\sqrt{2}$.
Tam giác $DMN$ có: $DH.MN=MI.DN=2{{S}_{\Delta DMN}}$
$\Rightarrow DH=\dfrac{MI.DN}{MN}=\dfrac{a.2a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}}=\dfrac{2a\sqrt{6}}{3}$.
Vậy: ${{V}_{DABC}}=\dfrac{1}{3}DH.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{2a\sqrt{6}}{3}.\dfrac{1}{2}2a.a\sqrt{3}=\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
A. $\dfrac{2\sqrt{6}{{a}^{3}}}{3}$.
B. $\dfrac{2\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$.
C. $2\sqrt{6}{{a}^{3}}$.
D. $2\sqrt{2}{{a}^{3}}$.
Dựng hình chữ nhật $ABCE$ $\Rightarrow AB\parallel EC\Rightarrow AB\parallel \left( DEC \right)$ $\Rightarrow d\left( AB,CD \right)=d\left( AB,\left( CED \right) \right)=a$.
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CE$ và $H$ là hình chiếu của $D$ lên $MN$.
Ta có:$\left\{ \begin{matrix}
AB\bot DM \\
AB\bot MN \\
\end{matrix} \right. $ $ \Rightarrow AB\bot \left( DMN \right)\Rightarrow AB\bot DH$.
Mà $DM\bot MN$ $\Rightarrow DH\bot \left( ABCD \right)$.
Tam giác $DMN$ có $DM=\dfrac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$, $MN=BC=a\sqrt{3}$.
$\Rightarrow \Delta DMN$ cân tại $M$ và $MI=d\left( M,\left( DEC \right) \right)=a$. $MI$ cũng là đường trung tuyến của tam giác $\Delta DMN$.
$\Delta DMI$ vuông tại $I$ $\Rightarrow DI=\sqrt{D{{M}^{2}}-M{{I}^{2}}}=a\sqrt{2}$.
Mà $DN=2DI$ $\Rightarrow DN=2a\sqrt{2}$.
Tam giác $DMN$ có: $DH.MN=MI.DN=2{{S}_{\Delta DMN}}$
$\Rightarrow DH=\dfrac{MI.DN}{MN}=\dfrac{a.2a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}}=\dfrac{2a\sqrt{6}}{3}$.
Vậy: ${{V}_{DABC}}=\dfrac{1}{3}DH.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{2a\sqrt{6}}{3}.\dfrac{1}{2}2a.a\sqrt{3}=\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
Đáp án B.
