Bài 8 trang 109 SGK Hình học 12 Nâng cao

Câu hỏi: Trong các trường hợp sau, làm thế nào để xác định được tọa độ của điểm:

Câu a​

Là hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng cho trước.
Lời giải chi tiết:
Để xác định tọa độ hình chiếu của điểm A(x0​, y0​, z0​) lên mặt phẳng (α):Ax+By+Cz+D=0 ta làm như sau:
+ Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A và Δ vuông góc với (α), khi đó (α) có phương trình:
Trong đó vectơ là vectơ pháp tuyến của (α) lại chính là vectơ chỉ phương của Δ (vì Δ ⊥ (α)).
+ Tìm tọa độ giao điểm của Δ và (α) là nghiệm của hệ
Giao điểm tìm được chính là hình chiếu của A lên mp(α).

Câu b​

Là hình chiếu của một điểm trên một đường thẳng cho trước.
Lời giải chi tiết:
Để tìm tọa độ hình chiếu của điểm A(x0​, y0​, z0​) lên đường thẳng ta làm như sau:
+ Viết phương trình mặt phẳng đi qua A(x0​, y0​, z0​) và vuông góc với d.
Đó là mặt phẳng đi qua A(x0​, y0​, z0​) và nhận vectơ chỉ phương của d là là vectơ pháp tuyến, nên mặt phẳng đó có phương trình là:
a(x-x0​ )+b(y-y0​ )+c(z-z0​ )=0 hay .
+ Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng trên ta được hình chiếu vuông góc của A lên d.
Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ

Câu c​

Đối xứng với một điểm cho trước qua một mặt phẳng cho trước.
Lời giải chi tiết:
Để tìm điểm đối xứng A’ của A(x0​, y0​, z0​) qua mặt phẳng (α):Ax+By+Cz+D=0 ta làm như sau:
+ Tìm hình chiếu vuông góc H của A lên mp(α):
+ Vì A’ đối xứng với A qua nên H là trung điểm của đoạn AA’, từ đó ta tìm được tọa độ A’ qua hệ thức: