Bài 7 trang 111 SGK Hình học 12 Nâng cao

Câu hỏi: Cho hai đường thẳng
\(d:\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr 
y = 3 \hfill \cr 
z = 6 + t \hfill \cr} \right.\) và
\(d':\left\{ \matrix{
x = 2 + t \hfill \cr 
y = 1 - t \hfill \cr 
z = 2 - t \hfill \cr} \right.\)

Câu a​

Chứng minh rằng d và d’ chéo nhau và vuông góc với nhau.
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng d đi qua \(M\left( {0; 3; 6} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1; 0; 1} \right)\).
Đường thẳng d’ đi qua \(M'\left( {2; 1; 2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'}  = \left( {1; - 1; - 1} \right)\).
Ta có
\(\eqalign{
& \overrightarrow {MM'} = \left({2; - 2; - 4} \right) ;\cr &\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left({1; 2; - 1} \right) \cr 
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} = 2 - 4 + 4 = 2 \ne 0. \cr} \)
Vậy d và d’ chéo nhau.
Ta có \(\overrightarrow u .\overrightarrow {u'}  = 1 + 0 - 1 = 0 \) \(\Rightarrow d \bot d'.\)

Câu b​

Viết phương trình mp(P) đi qua d và vuông góc với d’, phương trình mp(Q) đi qua d’ và vuông góc với d.
Lời giải chi tiết:
Mp(P) đi qua \(M\left( {0; 3; 6} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n'}  = \left( {1; - 1; - 1} \right)\) nên ta có phương trình:
\(x - \left( {y - 3} \right) - \left({z - 6} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow x - y - z + 9 = 0\)
Mp(Q) đi qua \(M'\left( {2; 1; 2} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1; 0; 1} \right)\) nên có phương trình: \(\left( {x - 2} \right) + z - 2 = 0\) \(\Leftrightarrow x + z - 4 = 0\)

Câu c​

Viết phương trình chính tắc của đường vuông góc chung của d và d’.
Lời giải chi tiết:
Đường vuông góc chung \(\Delta \) của d và d’ là giao tuyến của mp(P) và mp(Q) nên
\(\Delta :\left\{ \matrix{
x - y - z + 9 = 0 \hfill \cr 
x + z - 4 = 0 \hfill \cr} \right.\).
Cho x = 0 ta có y = 5 và z = 4. Suy ra A(0; 5; 4)\( \in \Delta \) , \(\Delta \) có vectơ chỉ phương
\(\overrightarrow v = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right] \) \(= \left( {\left| \matrix{
- 1 - 1 \hfill \cr 
0 1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 1 1 \hfill \cr 
1 1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
1 - 1 \hfill \cr 
1 0 \hfill \cr} \right|} \right) \) \(= \left( { - 1; - 2; 1} \right)\)
Phương trình chính tắc của \(\Delta : {x \over { - 1}} = {{y - 5} \over { - 2}} = {{z - 4} \over 1}\)