Bài 3 trang 109 SGK Hình học 12 Nâng cao

Câu hỏi: Cho đường thẳng d và mp(P) có phương trình:
\(d:\left\{ \matrix{
x = {2 \over 3} + t \hfill \cr 
y = - {{11} \over 3} + t \hfill \cr 
z = t \hfill \cr} \right. \left(P \right):x - 3y + z - 1 = 0\).

Câu a​

Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d trên mp(P)
Phương pháp giải:
Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mp(P) thì \(d' = \left( P \right) \cap \left(Q \right)\) là hình chiếu của d trên (P).
Lời giải chi tiết:
Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mp(P) thì \(d' = \left( P \right) \cap \left(Q \right)\) là hình chiếu của d trên (P).
Đường thẳng d đi qua \({M_0}\left( {{2 \over 3}; - {{11} \over 3}; 0} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1; 1; 1} \right)\).
Mp(P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{(P)}}}    = \left({1; - 3; 1} \right)\).
Mp(Q) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{(Q)}}}    \bot \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {{n_Q}}    \bot \overrightarrow {{n_P}}  \).
Vì \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{n_{(P)}}}   } \right] = \left({4; 0; - 4} \right)\) nên chọn \(\overrightarrow {{n_{(Q)}}}    = \left({1; 0; - 1} \right)\).
(Q) chứa d nên (Q) qua \({M_0}\left( {{2 \over 3}; - {{11} \over 3}; 0} \right)\) do đó (Q) có phương trình \(x - {2 \over 3} - z = 0 \) \(\Leftrightarrow 3x - 3z - 2 = 0\)
Ta có
\(d':\left\{ \matrix{
x - 3y + z - 1 = 0 \hfill \cr 
3x - 3z - 2 = 0 \hfill \cr} \right.\)
Cho z = 0, ta có \(x = {2 \over 3}, y =  - {1 \over 9} \) \(\Rightarrow A\left( {{2 \over 3}; - {1 \over 9}; 0} \right) \in d'\) và d’ có vectơ chỉ phương là
\(\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right] \) \(= \left( {\left| \matrix{
- 3 1 \hfill \cr 
0 - 3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
1 1 \hfill \cr 
- 3 3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
1 - 3 \hfill \cr 
3 0 \hfill \cr} \right|} \right) \) \(= \left( {9; 6; 9} \right) = 3\left({3; 2; 3} \right).\)
Phương trình tham số của d’ là
\(\left\{ \matrix{
x = {2 \over 3} + 3t \hfill \cr 
y = - {1 \over 9} + 2t \hfill \cr 
z = 3t \hfill \cr} \right.\).

Câu b​

Viết phương trình đường thẳng \({d_1}\) là hình chiếu song song của d trên mp(P) theo phương Oz.
Phương pháp giải:
Gọi (R) là mặt phẳng chứa d và song song với Oz (hoặc chứa Oz) thì \({d_1} = \left( P \right) \cap \left(R \right)\).
Lời giải chi tiết:
Gọi (R) là mặt phẳng chứa d và song song với Oz (hoặc chứa Oz) thì \({d_1} = \left( P \right) \cap \left(R \right)\).
Mp(R) đi qua \({M_0}\left( {{2 \over 3}; - {{11} \over 3}; 0} \right)\) và có vectơ pháp tuyến vuông góc với cả \(\overrightarrow u  = \left( {1; 1; 1} \right)\) và \(\overrightarrow k  = \left( {0; 0; 1} \right)\) (vectơ chỉ phương Oz) nên \(\overrightarrow {{n_R}}    = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right] = \left( {1; - 1; 0} \right)\).
Mp(R) có phương trình là \(1\left( {x - {2 \over 3}} \right) - 1\left({y + {{11} \over 3}} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow 3x - 3y - 13 = 0\)
Ta có
\({d_1}:\left\{ \matrix{
x - 3y + z - 1 = 0 \hfill \cr 
3x - 3y - 13 = 0 \hfill \cr} \right.\).
Cho y = 0, ta có \(x = {{13} \over 3}, z =  - {{10} \over 3}\) suy ra \(B\left( {{{13} \over 3}; 0; - {{10} \over 3}} \right) \in {d_1}\).
\({d_1}\) có vectơ chỉ phương
\(\overrightarrow v = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_R}} } \right] \) \(= \left( {\left| \matrix{
- 3 1 \hfill \cr 
- 3 0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
1 1 \hfill \cr 
0 3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
1 - 3 \hfill \cr 
3 - 3 \hfill \cr} \right|} \right) \) \(= \left( {3; 3; 6} \right) = 3\left({1; 1; 2} \right).\)
Vậy \({d_1}\) có phương trình tham số là
\(\left\{ \matrix{
x = {{13} \over 3} + t \hfill \cr 
y = t \hfill \cr 
z = - {{10} \over 3} + 2t \hfill \cr} \right.\)

Câu c​

Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O, cắt d và song song với mp(P).
Lời giải chi tiết:
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với mp(P) thì (P’) có phương trình: x – 3y + z = 0.
Giao điểm I của đường thẳng d và mp(P’) có tọa độ thỏa mãn hệ:
\(\left\{ \matrix{
x = {2 \over 3} + t \hfill \cr 
y = - {{11} \over 3} + t \hfill \cr 
z = t \hfill \cr 
x - 3y + z = 0 \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow I\left( {{{37} \over 3}; 8;{{35} \over 3}} \right)\)
Đường thẳng đi qua O và I là đường thẳng cần tìm, ta có phương trình:
\({x \over {{{37} \over 3}}} = {y \over 8} = {z \over {{{35} \over 3}}}\) \(\Leftrightarrow {x \over {37}} = {y \over {24}} = {z \over {35}}\)