Bài 1 trang 109 SGK Hình học 12 Nâng cao

Câu hỏi: Cho bốn điểm \(A\left( {1; 6; 2} \right), B\left({4; 0; 6} \right) ,\) \(C\left( {5; 0; 4} \right) , D\left({5; 1; 3} \right)\).

Câu a​

Chứng minh rằng bốn điểm đó không đồng phẳng.
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3; - 6; 4} \right);\overrightarrow {AC}  = \left({4; - 6; 2} \right);\) \(\overrightarrow {AD}  = \left( {4; - 5; 1} \right)\).
\(\eqalign{
& \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] \cr &= \left( {\left| \matrix{
- 6 4 \hfill \cr 
- 6 2 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
4 3 \hfill \cr 
2 4 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
3 - 6 \hfill \cr 
4 - 6 \hfill \cr} \right|} \right) \cr & = \left({12; 10; 6} \right) \cr 
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} \cr & = 12.4 - 5.10 + 6.1 = 4 \ne 0. \cr} \)
Vậy A, B, C, D không đồng phẳng nên ABCD là hình tứ diện.

Câu b​

Tính thể tích tứ diện ABCD.
Lời giải chi tiết:
Thể tích hình tứ diện ABCD là \({V_{ABCD}} = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| \) \(= {4 \over 6} = {2 \over 3}\).

Câu c​

Viết phương trình mp(BCD).
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\overrightarrow {BC}  = \left( {1; 0; - 2} \right);\overrightarrow {BD}  = \left({1; 1; - 3} \right)\)
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right] \) \(= \left( {\left| \matrix{
0 - 2 \hfill \cr 
1 - 3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 2 1 \hfill \cr 
- 3 1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
1 0 \hfill \cr 
1 1 \hfill \cr} \right|} \right) \) \(= \left( {2; 1; 1} \right).\)
Mp(BCD) qua B(4; 0; 6) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) nên có phương trình:
\(2\left( {x - 4} \right) + 1\left({y - 0} \right) + 1\left({z - 6} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow 2x + y + z - 14 = 0\).

Câu d​

Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mp(BCD). Tìm tọa độ tiếp điểm.
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu tâm A tiếp xúc với mp(BCD) có bán kính 
\(R = d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right) \) \(= {{\left| {2.1 + 1.6 + 1.2 - 14} \right|} \over {\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = {4 \over {\sqrt 6 }} = {{2\sqrt 6 } \over 3}\).
Phương trình mặt cầu là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left({y - 6} \right)^2} + {\left({z - 2} \right)^2} = {8 \over 3}\).
Gọi H là tiếp điểm thì AH là đường thẳng đi qua A vuông góc với mp(BCD) nên có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow n  = \left( {2; 1; 1} \right)\).
Vậy AH có phương trình tham số:
\(\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr 
y = 6 + t \hfill \cr 
z = 2 + t \hfill \cr} \right.\).
Thay x, y, z vào phương trình mp(BCD) ta được:
\(2\left( {1 + 2t} \right) + 6 + t + 2 + t - 14 = 0\) \(\Rightarrow t = {2 \over 3}\). Vậy \(H\left( {{7 \over 3};{{20} \over 3};{8 \over 3}} \right)\)