Bài 6 trang 110 SGK Hình học 12 Nâng cao

Câu hỏi: Cho hai đường thẳng
\(d:\left\{ \matrix{
x = 7 + 3t \hfill \cr 
y = 2 + 2t \hfill \cr 
z = 1 - 2t \hfill \cr} \right.\) và \(d':{{x - 1} \over 2} = {{y + 2} \over { - 3}} = {{z - 5} \over 4}\).

Câu a​

Chứng minh rằng d và d’ đồng phẳng. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa chúng.
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng d đi qua \(M\left( {7; 2; 1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {3; 2; - 2} \right)\).
Đường thẳng d’ đi qua \(M'\left( {1; - 2; 5} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'}  = \left( {2; - 3; 4} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {MM'}  = \left( { - 6; - 4; 4} \right)\)
\(\eqalign{
& \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} } \right] \cr &= \left( {\left| \matrix{
2 - 2 \hfill \cr 
- 3 4 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 2 3 \hfill \cr 
4 2 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
3 2 \hfill \cr 
2 - 3 \hfill \cr} \right|} \right) \cr &= \left({2; - 16; - 13} \right) \cr 
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} \cr &= - 2.6 + 16.4 - 13.4 = 0 \cr} \)
Vậy d và d’ đồng phẳng.
Mà \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {u'} \) không cùng phương nên d và d’ cắt nhau.
Mp(P) chứa d và d’ đi qua \(M\left( {7; 2; 1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {2; - 16; - 13} \right)\) do đó (P) có phương trình là:
\(2\left( {x - 7} \right) - 16\left({y - 2} \right) - 13\left({z - 1} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow 2x - 16y - 13z + 31 = 0\)

Câu b​

Tính thể tích hình tứ diện giới hạn bởi mp(P) và ba mặt phẳng tọa độ.
Lời giải chi tiết:
Giao điểm của mp(P) với các trục tọa độ là: \(A\left( {{{ - 31} \over 2}; 0; 0} \right) ; B\left({0;{{31} \over {16}}; 0} \right) ;\) \(C\left( {0; 0;{{31} \over {13}}} \right)\)
Thể tích tứ diện OABC là \(C = {1 \over 6}OA. OB. OC = {1 \over 6}.{{31} \over 2}.{{31} \over {16}}.{{31} \over {13}} \) \(= {{{{31}^3}} \over {2496}}.\)

Câu c​

Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện nói trên.
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC đi qua O nên có phương trình có dạng:
\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz = 0\)
Vì
\(A, B, C \in \left( S \right) \)
\(\Rightarrow  \left\{ \begin{array}{l}
{\left({ - \frac{{31}}{2}} \right)^2} - 2a.\left({ - \frac{{31}}{2}} \right) = 0\\
{\left({\frac{{31}}{{16}}} \right)^2} - 2b.\frac{{31}}{{16}} = 0\\
{\left({\frac{{31}}{{13}}} \right)^2} - 2c.\frac{{31}}{{13}} = 0
\end{array} \right.\)
\(\Rightarrow \left\{ \matrix{
a = - {{31} \over 4} \hfill \cr 
b = {{31} \over {32}} \hfill \cr 
c = {{31} \over {26}} \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + {{31} \over 2}x - {{31} \over {16}}y - {{31} \over {13}}z = 0\)