Bài 7 trang 109 SGK Hình học 12 Nâng cao

Câu hỏi: Bằng phương pháp tọa độ, làm thế nào để tính khoảng cách:

Câu a​

Từ một điểm đến một mặt phẳng.
Lời giải chi tiết:
Cho điểm A(x0​, y0​, z0​), mp(α):Ax+By+Cz+D=0;
Khoảng cách từ điểm A đến mp(α) được xác định như sau:
\(d\left( {A,\left( \alpha  \right)} \right) = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)

Câu b​

Từ một điểm đén một đường thẳng
Lời giải chi tiết:
Cho điểm A(x0​, y0​, z0​) và đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_1} + {a_1}t\\y = {y_1} + {b_1}t\\z = {z_1} + {c_1}t\end{array} \right., t \in \mathbb{R}\)
Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d1​) là: \(d\left( {A,\left( {{d_1}} \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {A{M_1}} ,\overrightarrow {{u_1}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|}}\)
Trong đó M1​ (x1​, y1​, z1​) là điểm trên (d1​ ), \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right)\) là vectơ chỉ phương của d1​.

Câu c​

Giữa hai đường chéo nhau.
Lời giải chi tiết:
Cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_1} + {a_1}t\\y = {y_1} + {b_1}t\\z = {z_1} + {c_1}t\end{array} \right., t \in \mathbb{R}\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_2} + {a_2}t\\y = {y_2} + {b_2}t\\z = {z_2} + {c_2}t\end{array} \right., t \in \mathbb{R}\) chéo nhau, khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng d1​ và d2​ là: \(d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}\)
Trong đó M1​∈d1 ​và \(\overrightarrow {{u_1}} \) là vectơ chỉ phương của d1​
M2​ ∈d2 ​và \(\overrightarrow {{u_2}} \) là vectơ chỉ phương của d2​

Câu d​

Giữa hai đường thẳng song song
Lời giải chi tiết:
Cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_1} + {a_1}t\\y = {y_1} + {b_1}t\\z = {z_1} + {c_1}t\end{array} \right., t \in \mathbb{R}\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_2} + {a_2}t\\y = {y_2} + {b_2}t\\z = {z_2} + {c_2}t\end{array} \right., t \in \mathbb{R}\) song song với nhau, khi đó cách từ d1​ đến d2​ là khoảng cách từ 1 điểm trên d1​ đến đường thẳng d2​, chẳng hạn: \(d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = d\left({M,{d_2}} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}\)
Trong đó M1​∈d1​, M2​∈d2​, \(\overrightarrow {{u_2}} \) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d2​.

Câu e​

Giữa hai mặt song song.
Lời giải chi tiết:
Cho hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau, khi đó khoảng cách giữa (α) và (β) là khoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc (β)đến (α).
Chẳng hạn, M(x0​, y0​, z0​)∈(β) và (α):Ax+By+Cz+D=0
Khi đó \(d\left( {\left( \alpha  \right),\left(\beta  \right)} \right) = d\left({M,\left( \alpha  \right)} \right)\) \(= \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)

Câu f​

Giữa đường và mặt phẳng song song với đường thẳng đó.
Lời giải chi tiết:
Giả sử đường thẳng d1​ song song với mặt phẳng (α):Ax+By+Cz+D=0.
Khi đó khoảng cách từ d1​ đến mặt phẳng (α) là khoảng cách từ 1 điểm M bất kì thuộc d1​ đến mp(α)
Chẳng hạn M1​ (x1​, y1​, z1​ )∈d1​, khi đó ta có:
\(d\left( {{d_1},\left( \alpha  \right)} \right) = d\left({{M_1},\left( \alpha  \right)} \right)\) \(= \dfrac{{\left| {A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)