Google
Câu hỏi: Cho bốn điểm bất kì \(A, B, C, D\). Chứng minh rằng:
\(\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB} = 0\).
Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: “Ba đường cao của một tam giác đồng quy”.
\(\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB} = 0\).
Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: “Ba đường cao của một tam giác đồng quy”.
Lời giải chi tiết
Ta có
\(\eqalign{
& \overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB} \cr
& = \overrightarrow {DA} (\overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DB}) + \overrightarrow {DB} (\overrightarrow {DA} - \overrightarrow {DC}) + \overrightarrow {DC} (\overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DA}) \cr
& = \overrightarrow {DA} \overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DA} \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DB} \overrightarrow {DA} - \overrightarrow {DB} \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DC} \overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DC} \overrightarrow {DA} = 0 \cr} \)
Gọi \(D\) là giao điểm của hai đường cao \(AA', BB'\) của tam giác \(ABC\).
Ta có \(\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC} = 0 ; \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA} = 0\)
Mà \(\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB} = 0\)
Từ đó suy ra \(\overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB} = 0\), do đó \(DC \bot AB\).
Vậy \(D\) nằm trên đường cao \(CC'\) của tam giác \(ABC\), tức là ba đường cao trong tam giác đồng quy.
Cách khác:
Ta có thể chứng minh đẳng thức tích vô hướng bằng cách khác như sau:
Với điểm $O$ bất kỳ ta có:
$\overrightarrow{\mathrm{DA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{DB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}-\overrightarrow{\mathrm{DC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}$
$=(\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OD}})(\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}})+(\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OD}})(\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}})$
$+(\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OD}})(\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}})$
$=\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QB}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$
$-\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}} \overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$
$-\overrightarrow{\mathrm{OD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$
$=0$
Ta có
\(\eqalign{
& \overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB} \cr
& = \overrightarrow {DA} (\overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DB}) + \overrightarrow {DB} (\overrightarrow {DA} - \overrightarrow {DC}) + \overrightarrow {DC} (\overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DA}) \cr
& = \overrightarrow {DA} \overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DA} \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DB} \overrightarrow {DA} - \overrightarrow {DB} \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DC} \overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DC} \overrightarrow {DA} = 0 \cr} \)
Gọi \(D\) là giao điểm của hai đường cao \(AA', BB'\) của tam giác \(ABC\).
Ta có \(\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC} = 0 ; \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA} = 0\)
Mà \(\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB} = 0\)
Từ đó suy ra \(\overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB} = 0\), do đó \(DC \bot AB\).
Vậy \(D\) nằm trên đường cao \(CC'\) của tam giác \(ABC\), tức là ba đường cao trong tam giác đồng quy.
Cách khác:
Ta có thể chứng minh đẳng thức tích vô hướng bằng cách khác như sau:
Với điểm $O$ bất kỳ ta có:
$\overrightarrow{\mathrm{DA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{DB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}-\overrightarrow{\mathrm{DC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}$
$=(\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OD}})(\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}})+(\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OD}})(\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}})$
$+(\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OD}})(\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}})$
$=\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QB}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$
$-\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}} \overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$
$-\overrightarrow{\mathrm{OD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$
$=0$