Google
Câu hỏi: Cho hai điểm \(M, N\) nằm trên đường tròn đường kính \(AB = 2R\). Gọi \(I\) là giao điểm của hai đường thẳng \(AM, BN\).
Phương pháp giải:
Sửa dụng quy tắc ba điểm, xen điểm thích hợp và chú ý: $\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 0$
Lời giải chi tiết:
AB là đường kính nên \(\widehat {AMB} = \widehat {ANB} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AM \bot MB\\
AN \bot NB
\end{array} \right.\)
Ta có: \({\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} } = \overrightarrow {AI} \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} } \right) \)
\(= \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BM} \)
Mặt khác: \(\overrightarrow {AI} \bot \overrightarrow {BM} \) (do AM\(\bot\) MB) nên \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BM} = 0\)
Từ đó: \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} +0\) \(= \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB}\)
Hay \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AI}\)
Ta có: \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {BI} \left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AN} } \right) \)\(= \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {AN} \)
Mặt khác: \(\overrightarrow {BI} \bot \overrightarrow {AN} \) (vì BN \(\bot\) NA) nên \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {AN} = 0\)
Từ đó: \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} +0\)\(=\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA}\).
Hay \(\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BI}.\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{& \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {BN} .\overrightarrow {BI}\cr& = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} \cr & = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BI} .\left( { - \overrightarrow {AB} } \right)\cr & = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {AB} \cr&= \overrightarrow {AB} \left({\overrightarrow {AI} - \overrightarrow {BI} } \right) \cr & = \overrightarrow {AB} .\left({\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IB} } \right)\cr &= \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} = {\overrightarrow {AB} ^2} = 4{{\rm{R}}^2} \cr} \)
Câu a
Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AI} ; \overrightarrow {BN} .\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BI}.\)Phương pháp giải:
Sửa dụng quy tắc ba điểm, xen điểm thích hợp và chú ý: $\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 0$
Lời giải chi tiết:
AB là đường kính nên \(\widehat {AMB} = \widehat {ANB} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AM \bot MB\\
AN \bot NB
\end{array} \right.\)
Ta có: \({\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} } = \overrightarrow {AI} \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} } \right) \)
\(= \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BM} \)
Mặt khác: \(\overrightarrow {AI} \bot \overrightarrow {BM} \) (do AM\(\bot\) MB) nên \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BM} = 0\)
Từ đó: \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} +0\) \(= \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB}\)
Hay \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AI}\)
Ta có: \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {BI} \left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AN} } \right) \)\(= \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {AN} \)
Mặt khác: \(\overrightarrow {BI} \bot \overrightarrow {AN} \) (vì BN \(\bot\) NA) nên \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {AN} = 0\)
Từ đó: \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} +0\)\(=\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA}\).
Hay \(\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BI}.\)
Câu b
Tính \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {BN} .\overrightarrow {BI} \) theo \(R\).Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{& \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {BN} .\overrightarrow {BI}\cr& = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} \cr & = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BI} .\left( { - \overrightarrow {AB} } \right)\cr & = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {AB} \cr&= \overrightarrow {AB} \left({\overrightarrow {AI} - \overrightarrow {BI} } \right) \cr & = \overrightarrow {AB} .\left({\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IB} } \right)\cr &= \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} = {\overrightarrow {AB} ^2} = 4{{\rm{R}}^2} \cr} \)
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!