Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) là \(\overrightarrow {BA} . \overrightarrow {BC} = A{B^2}\).
Lời giải chi tiết
Ta có \(\overrightarrow {BA} . \overrightarrow {BC} = {\overrightarrow {BA} ^2} \)\(\Leftrightarrow \overrightarrow {BA} (\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA}) = 0\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {BA} . \overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow BA \bot AC\)
\( \Leftrightarrow \) Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).
Cách khác:
Trong tam giác ABC ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} .\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } \right)\\ = {\overrightarrow {BA} ^2} + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AC} \end{array}\)
Do đó, tam giác ABC vuông tại A\(\Leftrightarrow \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AC} = 0\)
\(\Rightarrow \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = {\overrightarrow {BA} ^2} + 0 = {\overrightarrow {BA} ^2}\)
Ta có \(\overrightarrow {BA} . \overrightarrow {BC} = {\overrightarrow {BA} ^2} \)\(\Leftrightarrow \overrightarrow {BA} (\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA}) = 0\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {BA} . \overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow BA \bot AC\)
\( \Leftrightarrow \) Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).
Cách khác:
Trong tam giác ABC ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} .\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } \right)\\ = {\overrightarrow {BA} ^2} + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AC} \end{array}\)
Do đó, tam giác ABC vuông tại A\(\Leftrightarrow \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AC} = 0\)
\(\Rightarrow \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = {\overrightarrow {BA} ^2} + 0 = {\overrightarrow {BA} ^2}\)