Bài 6 trang 51 SGK Hình học 10 nâng cao

Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\) và \(\widehat B = {30^0}\). Tính giá trị của các biểu thức sau

Câu a​

\(\cos (\overrightarrow {AB} , \overrightarrow {BC}) + \sin (\overrightarrow {BA} , \overrightarrow {BC}) + \tan {{(\overrightarrow {AC} , \overrightarrow {CB})} \over 2}\)
Phương pháp giải:
Xác định góc giữa các véc tơ đã cho và giá trị lượng giác của chúng.
Từ đó thay vào tính giá trị biểu thức.
Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\widehat B = {30^0} \) \(\Rightarrow \widehat C = {90^0} - {30^0} = {60^0}\)
\((\overrightarrow {AB} , \overrightarrow {BC}) = {150^0};(\overrightarrow {BA} , \overrightarrow {BC}) = {30^0},\) \((\overrightarrow {AC} , \overrightarrow {CB}) = {120^0}\)
Do đó
\(\eqalign{
& \cos (\overrightarrow {AB} , \overrightarrow {BC}) + \sin (\overrightarrow {BA} , \overrightarrow {BC}) + \tan {{(\overrightarrow {AC} , \overrightarrow {CB})} \over 2}\cr& = \cos {150^0} + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in3}}{{\rm{0}}^0} + \tan {60^0} \cr 
& = {{ - \sqrt 3 } \over 2} + {1 \over 2} + \sqrt 3 = {{\sqrt 3 + 1} \over 2} \cr} \)

Câu b​

\(\sin (\overrightarrow {AB} , \overrightarrow {AC}) + \cos (\overrightarrow {BC} , \overrightarrow {BA}) + \cos (\overrightarrow {CA} , \overrightarrow {BA})\)
Lời giải chi tiết:
Ta có \((\overrightarrow {CA} , \overrightarrow {BA}) = {90^0}\), do đó
\(\eqalign{
& \sin (\overrightarrow {AB} , \overrightarrow {AC}) + \cos (\overrightarrow {BC} , \overrightarrow {BA}) + \cos (\overrightarrow {CA} , \overrightarrow {BA}) \cr&= \sin {90^0} + \cos {30^0} + \cos {90^0} \cr 
&= 1 + {{\sqrt 3 } \over 2} + 0 = {{2 + \sqrt 3 } \over 2} \cr} \)