Google
Câu hỏi: Cho hai đường thẳng \(a\) và \(b\) cắt nhau tại \(M\). Trên \(a\) có hai điểm \(A\) và \(B\), trên \(b\) có hai điểm \(C\) và \(D\) đều khác \(M\) sao cho \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} \). Chứng minh rằng bốn điểm \(A, B, C, D\) cùng nằm trên một đường tròn.
Lời giải chi tiết
Gọi \((O)\) là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
Gọi \(D'\) là giao điểm của \(b\) với \((O)\) (\({D'} \ne C\)).
* Trước hết ta chứng minh: $\overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M B}=\overrightarrow{M C} \cdot \overrightarrow{M D^{\prime}}$
+ Xét tam giác MAD'và tam giác $\mathrm{MCB}$ có:
$\widehat{M}$ chung
$\widehat{C D^{\prime} A}=\widehat{C B A}$ ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung $AC$)
Suy ra hai tam giác MAD' và MCB đồng dạng(g.g)
$\Rightarrow \frac{M A}{M C}=\frac{M D^{\prime}}{M B} \Leftrightarrow M A \cdot M B=M C \cdot M D^{\prime}$
$\Rightarrow \overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M B}=\overrightarrow{M C} \cdot \overrightarrow{M D^{\prime}}$
( vì $\left.\overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M B}=M A \cdot M B ; \overrightarrow{M C} \cdot \overrightarrow{M D^{\prime}}=M C \cdot M D^{\prime}\right)$
Theo giả thiết ta có \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {M{D}}\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {M{D'}} \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {MC} (\overrightarrow {MD} - \overrightarrow {M{D'}}) = 0 \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {MC} . \overrightarrow {{D'}D} = 0 \cr} \)
\(\Rightarrow \overrightarrow {{D'}D} = 0\) (Do \(M, C, D, D'\) cùng thuộc đường thẳng b nên \(\overrightarrow {MC} \) và \(\overrightarrow {{D'}D}\) không thể vuông góc với nhau)
\( \Rightarrow D \equiv {D'}\).
Vậy bốn điểm \(A, B, C, D\) cùng nằm trên một đường tròn.
Gọi \((O)\) là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
Gọi \(D'\) là giao điểm của \(b\) với \((O)\) (\({D'} \ne C\)).
* Trước hết ta chứng minh: $\overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M B}=\overrightarrow{M C} \cdot \overrightarrow{M D^{\prime}}$
+ Xét tam giác MAD'và tam giác $\mathrm{MCB}$ có:
$\widehat{M}$ chung
$\widehat{C D^{\prime} A}=\widehat{C B A}$ ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung $AC$)
Suy ra hai tam giác MAD' và MCB đồng dạng(g.g)
$\Rightarrow \frac{M A}{M C}=\frac{M D^{\prime}}{M B} \Leftrightarrow M A \cdot M B=M C \cdot M D^{\prime}$
$\Rightarrow \overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M B}=\overrightarrow{M C} \cdot \overrightarrow{M D^{\prime}}$
( vì $\left.\overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M B}=M A \cdot M B ; \overrightarrow{M C} \cdot \overrightarrow{M D^{\prime}}=M C \cdot M D^{\prime}\right)$
Theo giả thiết ta có \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {M{D}}\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {M{D'}} \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {MC} (\overrightarrow {MD} - \overrightarrow {M{D'}}) = 0 \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {MC} . \overrightarrow {{D'}D} = 0 \cr} \)
\(\Rightarrow \overrightarrow {{D'}D} = 0\) (Do \(M, C, D, D'\) cùng thuộc đường thẳng b nên \(\overrightarrow {MC} \) và \(\overrightarrow {{D'}D}\) không thể vuông góc với nhau)
\( \Rightarrow D \equiv {D'}\).
Vậy bốn điểm \(A, B, C, D\) cùng nằm trên một đường tròn.