Bài 54 trang 108 SBT Hình học 10 Nâng cao

Câu hỏi: Cho đường tròn \((C): {x^2} + {y^2} - 6x + 2y + 6 = 0\) và điểm \(A(1; 3).\)

Câu a​

Chứng minh rằng \(A\) ở ngoài đường tròn;
Lời giải chi tiết:
\((C)\) có tâm \(I(3 ; -1)\), bán kính \(R=2.\)
\(IA = \sqrt {{{(1 - 3)}^2} + {{(3 + 1)}^2}}\)
\(  = 2\sqrt 5    > R\), suy ra \(A\) nằm ngoài \((C).\)

Câu b​

Viết phương trình tiếp tuyến của \((C)\) kẻ từ \(A;\)
Lời giải chi tiết:
\(A\) nằm ngoài \((C)\) nên từ \(A\) ta kẻ được hai tiếp tuyến đến \((C).\)
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\) có phương trình:
\(\alpha (x - 1) + \beta (y - 3) = 0  \)
\(   \Leftrightarrow    \alpha x + \beta y - \alpha  - 3\beta  = 0 \)     \(({\alpha ^2} + {\beta ^2}   \ne 0)\).
\(\Delta \) tiếp xúc với (C)
\(\Leftrightarrow   d(I ; \Delta) = R  \)
\(  \Leftrightarrow   \dfrac{{|3\alpha  - \beta  - \alpha  - 3\beta |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 2\)
\(|\alpha  - 2\beta | = \sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} \)
\(     \Leftrightarrow   \beta (3\beta  - 4\alpha) = 0     \Leftrightarrow    \left[ \begin{array}{l}\beta  = 0\\\beta  =  \dfrac{4}{3}\alpha .\end{array} \right.\)
Với \(\beta  = 0\), ta chọn \(\alpha  = 1\), ta được tiếp tuyến thứ nhất : \(x-1=0.\)
Với \(\beta  =  \dfrac{4}{3}\alpha \), ta chọn \(\alpha  = 3, \beta  = 4\), ta được tiếp tuyến thứ hai: \(3x+4y-15=0.\)

Câu c​

Gọi \(T_1, T_2\) là các tiếp điểm ở câu b), tính diện tích tam giác \(AT_1T_2\).
Lời giải chi tiết:
Từ câu b), giải hệ để tìm ra tọa độ tiếp điểm \(T_1, T_2\) của các đường tiếp tuyến với \((C)\). Tính góc giữa hai  đường tiếp tuyến. Từ đó tính diện tích của tam giác \(AT_1T_2\).