Google
Câu hỏi: Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm \(A(-1; 0),\) \(B(1; 2)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(x - y - 1 = 0\).
Lời giải chi tiết
Gọi \(I(a; b)\) và \(R\) là tâm và bán kính của đường \((C)\) cần tìm. Phương trình của \((C)\) là \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\).
\((C)\) tiếp xúc với \(\Delta : x - y - 1 = 0\) khi và chỉ khi
\(\begin{array}{l}d(I; \Delta) = R \Leftrightarrow \dfrac{{|a - b - 1|}}{{\sqrt 2 }} = R\\A, B \in (C) \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(- 1 - a)^2} + {b^2} = {R^2}\\{(1 - a)^2} + {(2 - b)^2} = {R^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(a + 1)^2} + {b^2} = \dfrac{{{{(a - b - 1)}^2}}}{2} (1)\\{(a - 1)^2} + {(b - 2)^2} = \dfrac{{{{(a - b - 1)}^2}}}{2} (2)\end{array} \right.\end{array}\)
Từ (1) và (2) suy ra:
\({(a + 1)^2} + {b^2} = {(a - 1)^2} + {(b - 2)^2} \)
\( \Leftrightarrow a = 1 - b\).
Thay \(a=1-b\) vào (2), ta có:
\({b^2} + {(b - 2)^2} = 2{b^2} \)
\( \Rightarrow b = 1 \Rightarrow a = 0, R = \sqrt 2 \).
Phương trình của \((C): {x^2} + {(y - 1)^2} = 2\).
Gọi \(I(a; b)\) và \(R\) là tâm và bán kính của đường \((C)\) cần tìm. Phương trình của \((C)\) là \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\).
\((C)\) tiếp xúc với \(\Delta : x - y - 1 = 0\) khi và chỉ khi
\(\begin{array}{l}d(I; \Delta) = R \Leftrightarrow \dfrac{{|a - b - 1|}}{{\sqrt 2 }} = R\\A, B \in (C) \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(- 1 - a)^2} + {b^2} = {R^2}\\{(1 - a)^2} + {(2 - b)^2} = {R^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(a + 1)^2} + {b^2} = \dfrac{{{{(a - b - 1)}^2}}}{2} (1)\\{(a - 1)^2} + {(b - 2)^2} = \dfrac{{{{(a - b - 1)}^2}}}{2} (2)\end{array} \right.\end{array}\)
Từ (1) và (2) suy ra:
\({(a + 1)^2} + {b^2} = {(a - 1)^2} + {(b - 2)^2} \)
\( \Leftrightarrow a = 1 - b\).
Thay \(a=1-b\) vào (2), ta có:
\({b^2} + {(b - 2)^2} = 2{b^2} \)
\( \Rightarrow b = 1 \Rightarrow a = 0, R = \sqrt 2 \).
Phương trình của \((C): {x^2} + {(y - 1)^2} = 2\).