Google
Câu hỏi: Cho đường tròn \((C): {x^2} + {y^2} - 2x + 6y + 5 = 0\) và đường thẳng \(d: 2x+y-1=0\). Viết phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) của \((C)\), biết \(\Delta \) song song với \(d\). Tìm tọa độ tiếp điểm.
Lời giải chi tiết
\((C)\) có tâm \(I(1 ; -3)\), bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {3^2} - 5} = \sqrt 5 \).
\(\Delta //d \Rightarrow \Delta \) có phương trình : \(2x + y + m = 0 (m \ne - 1)\).
\(\Delta \) tiếp xúc với \((C)\)
\(\Leftrightarrow d(I ; \Delta) = R \\ \Leftrightarrow \dfrac{{|2 - 2 + m|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \sqrt 5 \\ \Leftrightarrow |m - 1| = 5 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 6\\m = - 4.\end{array} \right.\)
Có hai tiếp tuyến cần tìm là :
\(\begin{array}{l}{\Delta _1}: 2x + y + 6 = 0;\\{\Delta _2}: 2x + y - 4 = 0.\end{array}\)
Tọa độ tiếp điểm \(M\) của \({\Delta _1}\) với \((C)\) là nghiệm của hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y + 6 = 0\\{x^2} + {y^2} - 2x + 6y + 5 = 0\end{array} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 4\end{array} \right.\). Vậy \(M=(-1 ; -4).\)
Tọa độ tiếp điểm N của \({\Delta _2}\) với \((C)\) là nghiệm của hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 4 = 0\\{x^2} + {y^2} - 2x + 6y + 5 = 0\end{array} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 2\end{array} \right.\). Vậy \(N=(3 ; -2).\)
\((C)\) có tâm \(I(1 ; -3)\), bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {3^2} - 5} = \sqrt 5 \).
\(\Delta //d \Rightarrow \Delta \) có phương trình : \(2x + y + m = 0 (m \ne - 1)\).
\(\Delta \) tiếp xúc với \((C)\)
\(\Leftrightarrow d(I ; \Delta) = R \\ \Leftrightarrow \dfrac{{|2 - 2 + m|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \sqrt 5 \\ \Leftrightarrow |m - 1| = 5 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 6\\m = - 4.\end{array} \right.\)
Có hai tiếp tuyến cần tìm là :
\(\begin{array}{l}{\Delta _1}: 2x + y + 6 = 0;\\{\Delta _2}: 2x + y - 4 = 0.\end{array}\)
Tọa độ tiếp điểm \(M\) của \({\Delta _1}\) với \((C)\) là nghiệm của hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y + 6 = 0\\{x^2} + {y^2} - 2x + 6y + 5 = 0\end{array} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 4\end{array} \right.\). Vậy \(M=(-1 ; -4).\)
Tọa độ tiếp điểm N của \({\Delta _2}\) với \((C)\) là nghiệm của hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 4 = 0\\{x^2} + {y^2} - 2x + 6y + 5 = 0\end{array} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 2\end{array} \right.\). Vậy \(N=(3 ; -2).\)