Google
Câu hỏi: Cho hai đường tròn
\(({C_1}): {x^2} + {y^2} - 4x - 8y + 11 = 0 ; \)
\(({C_1}): {x^2} + {y^2} - 2x - 2y - 2 = 0\).
Lời giải chi tiết:
\((C_1)\) có tâm \(I_1(2; 4)\), bán kính \({R_1} = \sqrt {{2^2} + {4^2} - 11} = 3\).
\((C_2)\) có tâm \(I_2(1; 1)\), bán kính \({R_2} = \sqrt {{1^2} + {1^2} + 2} = 2\).
\(1 = |{R_1} - {R_2}| < {I_1}{I_2}\)
\(= \sqrt {{{(1 - 2)}^2} + {{(1 - 4)}^2}}\)
\( = \sqrt {10} < {R_1} + {R_2} = 5\).
Suy ra \((C_1)\) và \((C_2)\) cắt nhau.
Lời giải chi tiết:
(h. 107).
Theo câu a), \((C_1)\) và \((C_2)\) cắt nhau nên chúng có hai tiếp tuyến chung. Tiếp tuyến chung \(\Delta \) có phương trình : \(\alpha x + \beta y + \gamma = 0 ({\alpha ^2} + {\beta ^2} > 0)\).
\(\Delta \) tiếp xúc với \((C_1)\) và \((C_2)\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}d({I_1} ; \Delta) = {R_1}\\d({I_2} ; \Delta) = {R_2}\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{|2\alpha + 4\beta + \gamma |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 3 (1)\\ \dfrac{{|\alpha + \beta + \gamma |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 2 (2)\end{array} \right.\\ \Rightarrow 2|2\alpha + 4\beta + \gamma | = 3|\alpha + \beta + \gamma |\\ \Leftrightarrow 4\alpha + 8\beta + 2\gamma = \pm (3\alpha + 3\beta + 3\gamma)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\gamma = \alpha + 5\beta \\\gamma = - \dfrac{{7\alpha + 11\beta }}{5}.\end{array} \right.\end{array}\)
Thay \(\gamma = \alpha + 5\beta \) vào (2) ta có:
\(\dfrac{{|2\alpha + 6\beta |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 2\)
\( \Leftrightarrow {(\alpha + 3\beta)^2} = {a^2} + {\beta ^2} \)
\( \Leftrightarrow 2\beta (4\beta + 3\alpha) = 0\)
\(\Leftrightarrow \beta = 0\) hoặc \(4\beta = - 3\alpha \).
Với \(\beta = 0\)(do đó \(\alpha \ne 0\)), suy ra \(\gamma = \alpha \). Ta có tiếp tuyến chung thứ nhất
\({\Delta _1}: x + 1 = 0\).
Với \(4\beta = - 3\alpha \), chọn \(\alpha = 4, \beta = - 3\), ta được \(\gamma = - 11\). Ta có tiếp tuyến chung thứ hai
\({\Delta _2}: 4x - 3y - 11 = 0\).
Thay \(\gamma = - \dfrac{{7\alpha + 11\beta }}{5}\) vào (2), ta có
\(\dfrac{{|2\alpha + 6\beta |}}{{5\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 2 \)
\( \Leftrightarrow {(\alpha + 3\beta)^2} = 25({\alpha ^2} + {\beta ^2})\)
\( \Leftrightarrow 12{\alpha ^2} - 3\alpha \beta + 8{\beta ^2} = 0\), phương trìn vô nghiệm.
Vậy \((C_1)\) và \((C_2)\) có hai tiếp tuyến chung là
\(\begin{array}{l}{\Delta _1}: x + 1 = 0;\\{\Delta _2}: 4x - 3y - 11 = 0.\end{array}\)
\(({C_1}): {x^2} + {y^2} - 4x - 8y + 11 = 0 ; \)
\(({C_1}): {x^2} + {y^2} - 2x - 2y - 2 = 0\).
Câu a
Xét vị trí tương đối của \((C_1)\) và \((C_2)\).Lời giải chi tiết:
\((C_1)\) có tâm \(I_1(2; 4)\), bán kính \({R_1} = \sqrt {{2^2} + {4^2} - 11} = 3\).
\((C_2)\) có tâm \(I_2(1; 1)\), bán kính \({R_2} = \sqrt {{1^2} + {1^2} + 2} = 2\).
\(1 = |{R_1} - {R_2}| < {I_1}{I_2}\)
\(= \sqrt {{{(1 - 2)}^2} + {{(1 - 4)}^2}}\)
\( = \sqrt {10} < {R_1} + {R_2} = 5\).
Suy ra \((C_1)\) và \((C_2)\) cắt nhau.
Câu b
Viết phương trình tiếp tuyến chung của \((C_1)\) và \((C_2).\)Lời giải chi tiết:
(h. 107).
Theo câu a), \((C_1)\) và \((C_2)\) cắt nhau nên chúng có hai tiếp tuyến chung. Tiếp tuyến chung \(\Delta \) có phương trình : \(\alpha x + \beta y + \gamma = 0 ({\alpha ^2} + {\beta ^2} > 0)\).
\(\Delta \) tiếp xúc với \((C_1)\) và \((C_2)\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}d({I_1} ; \Delta) = {R_1}\\d({I_2} ; \Delta) = {R_2}\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{|2\alpha + 4\beta + \gamma |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 3 (1)\\ \dfrac{{|\alpha + \beta + \gamma |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 2 (2)\end{array} \right.\\ \Rightarrow 2|2\alpha + 4\beta + \gamma | = 3|\alpha + \beta + \gamma |\\ \Leftrightarrow 4\alpha + 8\beta + 2\gamma = \pm (3\alpha + 3\beta + 3\gamma)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\gamma = \alpha + 5\beta \\\gamma = - \dfrac{{7\alpha + 11\beta }}{5}.\end{array} \right.\end{array}\)
Thay \(\gamma = \alpha + 5\beta \) vào (2) ta có:
\(\dfrac{{|2\alpha + 6\beta |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 2\)
\( \Leftrightarrow {(\alpha + 3\beta)^2} = {a^2} + {\beta ^2} \)
\( \Leftrightarrow 2\beta (4\beta + 3\alpha) = 0\)
\(\Leftrightarrow \beta = 0\) hoặc \(4\beta = - 3\alpha \).
Với \(\beta = 0\)(do đó \(\alpha \ne 0\)), suy ra \(\gamma = \alpha \). Ta có tiếp tuyến chung thứ nhất
\({\Delta _1}: x + 1 = 0\).
Với \(4\beta = - 3\alpha \), chọn \(\alpha = 4, \beta = - 3\), ta được \(\gamma = - 11\). Ta có tiếp tuyến chung thứ hai
\({\Delta _2}: 4x - 3y - 11 = 0\).
Thay \(\gamma = - \dfrac{{7\alpha + 11\beta }}{5}\) vào (2), ta có
\(\dfrac{{|2\alpha + 6\beta |}}{{5\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 2 \)
\( \Leftrightarrow {(\alpha + 3\beta)^2} = 25({\alpha ^2} + {\beta ^2})\)
\( \Leftrightarrow 12{\alpha ^2} - 3\alpha \beta + 8{\beta ^2} = 0\), phương trìn vô nghiệm.
Vậy \((C_1)\) và \((C_2)\) có hai tiếp tuyến chung là
\(\begin{array}{l}{\Delta _1}: x + 1 = 0;\\{\Delta _2}: 4x - 3y - 11 = 0.\end{array}\)
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!