Bài 4 trang 76 SGK Đại số và Giải tích 11

Câu hỏi: Có bao nhiêu số chẵn có \(4\) chữ số được tạo thành từ các số \(0,1,2,3,4,5,6\) sao cho:

Câu a​

Các chữ số có thể giống nhau
Phương pháp giải:
Sử dụng linh hoạt các quy tắc đếm.
Lời giải chi tiết:
Tập hợp \(A = \left\{{0,1,2,3,4,5,6}\right\}\)
Gọi số có \(4\) chữ số tạo thành là \(\overline {abcd} \)
Ta có: \(\overline {abcd} \) chẵn nên:
Số \(\overline {abcd} \left\{ \matrix{a, b, c, d \in A \hfill \cr a \ne 0 \hfill \cr d \in \left\{ {0,2,4,6} \right\} \hfill \cr} \right.\)
+) Có \(4\) cách để chọn \(d\)
+) \(a ≠ 0\) ⇒ có \(6\) cách chọn \(a\)
+) Có \(7\) cách chọn \(b\) và \(7\) cách chọn \(c\)
Vậy : \(4.6.7.7 = 1176\) số chẵn \(\overline {abcd} \) trong đó, các chữ số có thể giống nhau

Câu b​

Các chữ số khác nhau.
Phương pháp giải:
Sử dụng linh hoạt các quy tắc đếm.
Lời giải chi tiết:
Gọi \(\overline {abcd} \)  là số cần tìm
Trường hợp 1: \(\overline {abc0} (d = 0)\)
Vì \(a, b, c\) đôi một khác nhau và khác \(d\) nên có \(A_6^3\) số \(\overline {abc0} \)
Vậy có \(A_6^3\) số \(\overline {abc0} \)
Trường hợp 2: \(\overline {abcd} \) (với \(d ≠ 0\))
+) \(d ∈ \left\{{2,4,6}\right\}\) \(⇒\) có \(3\) cách chọn \(d\)
+) \(a ≠ 0, a ≠ d\) nên có \(5\) cách chọn \(a\)
+) \(b ≠ a, b ≠ d\) nên có \(5\) cách chọn \(b\)
+) \(c ≠ a, b, d\) nên có \(4\) cách chọn \(c\)
\(⇒\) Có \(3.5.5.4 = 300\) số  \(\overline {abcd} \) loại 2
Vậy có: \(A_6^3 + 300 = 420\) số  \(\overline {abcd} \) thỏa mãn yêu cầu của đề bài.
Cách khác:
Ở TH1, ta có thể đếm từng chữ số như sau:
TH1: Chọn các số chẵn có chữ số hàng đơn vị bằng 0
⇒ Có 6 cách chọn chữ số hàng nghìn
5 cách chọn chữ số hàng trăm
4 cách chọn chữ số hàng chục
⇒ Theo quy tắc nhân: có 6.5.4 = 120 (số)
TH2: Chọn các số chẵn có chữ số hàng đơn vị khác 0.
⇒ Có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị
Có 5 cách chọn chữ số hàng nghìn (khác 0 và khác hàng đơn vị)
Có 5 cách chọn chữ số hàng trăm
Có 4 cách chọn chữ số hàng chục
⇒ Theo quy tắc nhân: Có 3.5.5.4 = 300 (số)
⇒ Theo quy tắc cộng: Có tất cả 120 + 300 = 420 số chẵn thỏa mãn.