Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng hàm số $y=\sqrt{2x-{{x}^{2}}}$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;\ 1 \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( 1;\ 2 \right).$
Phương pháp giải
+) Tìm tập xác định của hàm số.
+) Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm xi (I =1,2,3,…, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định
+) Xét dấu đạo hàm và kết luận khoảng đồng biến nghịch biến.
Lời giải chi tiết
ĐK: $2x-{{x}^{2}}\ge 0$ $\Leftrightarrow x\left( x-2 \right)\le 0$ $\Leftrightarrow 0\le x\le 2.$
Tập xác định: $D=\left[ 0;\ 2 \right].$
Có $y'=\dfrac{2-2x}{2\sqrt{2x-{{x}^{2}}}}$ $=\dfrac{1-x}{\sqrt{2x-{{x}^{2}}}},\forall \ x\in \left( 0;\ 2 \right)$
$\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 1-x=0\Leftrightarrow x=1.$
+) $y' > 0 \Leftrightarrow 1 - x > 0 \Leftrightarrow x < 1$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;\ 1 \right)$.
+) $y' < 0 \Leftrightarrow 1 - x < 0 \Leftrightarrow x > 1$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 1;\ 2 \right).$
+) Tìm tập xác định của hàm số.
+) Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm xi (I =1,2,3,…, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định
+) Xét dấu đạo hàm và kết luận khoảng đồng biến nghịch biến.
Lời giải chi tiết
ĐK: $2x-{{x}^{2}}\ge 0$ $\Leftrightarrow x\left( x-2 \right)\le 0$ $\Leftrightarrow 0\le x\le 2.$
Tập xác định: $D=\left[ 0;\ 2 \right].$
Có $y'=\dfrac{2-2x}{2\sqrt{2x-{{x}^{2}}}}$ $=\dfrac{1-x}{\sqrt{2x-{{x}^{2}}}},\forall \ x\in \left( 0;\ 2 \right)$
$\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 1-x=0\Leftrightarrow x=1.$
+) $y' > 0 \Leftrightarrow 1 - x > 0 \Leftrightarrow x < 1$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;\ 1 \right)$.
+) $y' < 0 \Leftrightarrow 1 - x < 0 \Leftrightarrow x > 1$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 1;\ 2 \right).$