Google
Câu hỏi:
$\tan x>x\ \ \left( 0<x<\dfrac{\pi }{2} \right).$
Phương pháp giải:
+) Chuyển vế tất cả các biểu thức chứa biến sang vế trái sau đó so sánh hàm số $y\left( x \right)$ với 0.
+) Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số $y\left( x \right)$ và khảo sát hàm số $y\left( x \right)$ trên các khoảng đề bài đã cho.
+) Dựa vào tính đơn điệu của hàm số để kết luận bài toán.
Lời giải chi tiết:
$\tan x>x\ \ \left( 0<x<\dfrac{\pi }{2} \right).$
Xét hàm số: $y=f\left( x \right)=\tan x-x$ với $x\in \left( 0;\ \dfrac{\pi }{2} \right).$
Ta có: $y'=\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1=\dfrac{1-{{\cos }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}=\dfrac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}$
$={{\tan }^{2}}x>0,\forall x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$
Vậy hàm số luôn đồng biến trên $\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right).$
$\Rightarrow \forall \ x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$
Ta có $ f\left( x \right)>f\left( 0 \right) \\ \Leftrightarrow \tan x-x>\tan 0-0 $
$ \Leftrightarrow \tan x-x>0 $
$ \Leftrightarrow \tan x>x\ \ \left( dpcm \right).$
Phương pháp giải:
+) Chuyển vế tất cả các biểu thức chứa biến sang vế trái sau đó so sánh hàm số $y\left( x \right)$ với 0.
+) Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số $y\left( x \right)$ và khảo sát hàm số $y\left( x \right)$ trên các khoảng đề bài đã cho.
+) Dựa vào tính đơn điệu của hàm số để kết luận bài toán.
Lời giải chi tiết:
$\tan x>x+\dfrac{{{x}^{3}}}{3}\ \ \left( 0<x<\dfrac{\pi }{2} \right).$
Xét hàm số: $y=g\left( x \right)=\tan x-x-\dfrac{{{x}^{3}}}{3}$ với $x\in \left( 0;\ \dfrac{\pi }{2} \right).$
Ta có: $y'=\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1-{{x}^{2}}=1+{{\tan }^{2}}x-1-{{x}^{2}}\\ ={{\tan }^{2}}x-{{x}^{2}}=\left( \tan x-x \right)\left( \tan x+x \right).$
Với $\forall \ x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)\Rightarrow \tan x>0$ nên ta có: $\tan x+x>0$ và $\tan x-x>0$ (theo câu a) $\Rightarrow y'>0 \forall x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$
Vậy hàm số $y=g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)\Rightarrow g\left( x \right)>g\left( 0 \right).$
$\Leftrightarrow \tan x-x-\dfrac{{{x}^{3}}}{3}>\tan 0-0-0 \\ \Leftrightarrow \tan x-x-\dfrac{{{x}^{3}}}{3}>0 \\ \Leftrightarrow \tan x>x+\dfrac{{{x}^{3}}}{3}\ \ \ \left( dpcm \right).$
Câu a
Chứng minh các bất đẳng thức sau:$\tan x>x\ \ \left( 0<x<\dfrac{\pi }{2} \right).$
Phương pháp giải:
+) Chuyển vế tất cả các biểu thức chứa biến sang vế trái sau đó so sánh hàm số $y\left( x \right)$ với 0.
+) Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số $y\left( x \right)$ và khảo sát hàm số $y\left( x \right)$ trên các khoảng đề bài đã cho.
+) Dựa vào tính đơn điệu của hàm số để kết luận bài toán.
Lời giải chi tiết:
$\tan x>x\ \ \left( 0<x<\dfrac{\pi }{2} \right).$
Xét hàm số: $y=f\left( x \right)=\tan x-x$ với $x\in \left( 0;\ \dfrac{\pi }{2} \right).$
Ta có: $y'=\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1=\dfrac{1-{{\cos }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}=\dfrac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}$
$={{\tan }^{2}}x>0,\forall x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$
Vậy hàm số luôn đồng biến trên $\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right).$
$\Rightarrow \forall \ x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$
Ta có $ f\left( x \right)>f\left( 0 \right) \\ \Leftrightarrow \tan x-x>\tan 0-0 $
$ \Leftrightarrow \tan x-x>0 $
$ \Leftrightarrow \tan x>x\ \ \left( dpcm \right).$
Câu b
$\tan x>x+\dfrac{{{x}^{3}}}{3}\ \ \left( 0<x<\dfrac{\pi }{2} \right).$Phương pháp giải:
+) Chuyển vế tất cả các biểu thức chứa biến sang vế trái sau đó so sánh hàm số $y\left( x \right)$ với 0.
+) Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số $y\left( x \right)$ và khảo sát hàm số $y\left( x \right)$ trên các khoảng đề bài đã cho.
+) Dựa vào tính đơn điệu của hàm số để kết luận bài toán.
Lời giải chi tiết:
$\tan x>x+\dfrac{{{x}^{3}}}{3}\ \ \left( 0<x<\dfrac{\pi }{2} \right).$
Xét hàm số: $y=g\left( x \right)=\tan x-x-\dfrac{{{x}^{3}}}{3}$ với $x\in \left( 0;\ \dfrac{\pi }{2} \right).$
Ta có: $y'=\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1-{{x}^{2}}=1+{{\tan }^{2}}x-1-{{x}^{2}}\\ ={{\tan }^{2}}x-{{x}^{2}}=\left( \tan x-x \right)\left( \tan x+x \right).$
Với $\forall \ x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)\Rightarrow \tan x>0$ nên ta có: $\tan x+x>0$ và $\tan x-x>0$ (theo câu a) $\Rightarrow y'>0 \forall x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$
Vậy hàm số $y=g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)\Rightarrow g\left( x \right)>g\left( 0 \right).$
$\Leftrightarrow \tan x-x-\dfrac{{{x}^{3}}}{3}>\tan 0-0-0 \\ \Leftrightarrow \tan x-x-\dfrac{{{x}^{3}}}{3}>0 \\ \Leftrightarrow \tan x>x+\dfrac{{{x}^{3}}}{3}\ \ \ \left( dpcm \right).$
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!