Google
Câu hỏi: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
Phương pháp giải:
+) Tìm tập xác định của hàm số.
+) Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm xi (I =1,2,3,…, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định
+) Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên
+) Dựa vào bảng biến thiên để kết luận khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số trên tập xác định của nó. (nếu y’ > 0 thì hàm số đồng biến, nếu y’ < 0 thì hàm số nghịch biến)
Ở bài toán này cần chú ý các tập xác định của hàm số.
Lời giải chi tiết:
$y=\dfrac{3x+1}{1-x}=\dfrac{3x+1}{-x+1}$
Tập xác định: $D=R\backslash \left\{ 1 \right\}.$
Có: $y'=\dfrac{3.1-\left(-1\right).1}{{{\left( -x+1 \right)}^{2}}}$ $=\dfrac{4}{{{\left(-x+1 \right)}^{2}}}>0\ \forall \ x\in D.$
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của nó là: $\left(-\infty ;\ 1 \right)$ và $\left(1;+\infty \right).$
Chú ý: Cách tính giới hạn để điền vào BBT: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{{3x + 1}}{{1 - x}} = - 3,$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{3x + 1}}{{1 - x}} = - \infty ,$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{3x + 1}}{{1 - x}} = + \infty $
Lời giải chi tiết:
$y=\dfrac{{{x}^{2}}-2x}{1-x}.$
Tập xác định: $D=R\backslash \left\{ 1 \right\}.$
Có: $y'=\dfrac{\left(2x-2 \right)\left(1-x \right)+{{x}^{2}}-2x}{{{\left(1-x \right)}^{2}}}$ $=\dfrac{-{{x}^{2}}+2x-2}{{{\left(1-x \right)}^{2}}}$ $=\dfrac{-\left({{x}^{2}}-2x+2 \right)}{{{\left(1-x \right)}^{2}}}$ $=\dfrac{-\left({{x}^{2}}-2x+1 \right)-1}{{{\left(1-x \right)}^{2}}}$ $=\dfrac{-{{\left(x-1 \right)}^{2}}-1}{{{\left(1-x \right)}^{2}}}$ $=-1-\dfrac{1}{{{\left(1-x \right)}^{2}}}<0\ \forall x\in D.$
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó là: $\left(-\infty ;\ 1 \right)$ và $\left(1;+\infty \right).$
Chú ý: Cách tính giới hạn để điền vào bảng biến thiên:
$\begin{align}& \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{{{x}^{2}}-2x}{1-x}=-\infty \cr& \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{{{x}^{2}}-2x}{1-x}=+\infty \ \\ & \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{3x+1}{1-x}=+\infty \cr&\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{3x+1}{1-x}=-\infty \\ \end{align}$
Lời giải chi tiết:
$y=\sqrt{{{x}^{2}}-x-20}$
Có ${{x}^{2}}-x-20\ge 0$ $\Leftrightarrow \left(x+4 \right)\left(x-5 \right)\ge 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x\le -4 \\ & x\ge 5 \\ \end{align} \right..$
Tập xác định: $D=\left(-\infty ;-4 \right]\cup \left[ 5;+\infty \right).$
Có $y'=\dfrac{2x-1}{2\sqrt{{{x}^{2}}-x-20}}$ $\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 2x-1=0$ $\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\notin D$
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;-4 \right)$ và đồng biến trên khoảng $\left( 5;+\infty \right).$
Chú ý: Cách tính giới hạn để điền vào BBT:
$\begin{aligned} & \underset{x\Rightarrow -\infty }{\mathop{\lim }} \sqrt{{{x}^{2}}-x-20}=+\infty\cr&\underset{x\Rightarrow +\infty }{\mathop{\lim }} \sqrt{{{x}^{2}}-x-20}=+\infty \\ & \underset{x\Rightarrow {{4}^{-}}}{\mathop{\lim }} \sqrt{{{x}^{2}}-x-20}=0\cr& \underset{x\Rightarrow {{5}^{+}}}{\mathop{\lim }} \sqrt{{{x}^{2}}-x-20}=0.\ \\ \end{aligned}$
Lời giải chi tiết:
$y=\dfrac{2x}{{{x}^{2}}-9}.$
Có ${{x}^{2}}-9\ne 0\Leftrightarrow x\ne \pm 3.$
Tập xác định: $D=R\backslash \left\{ \pm 3 \right\}.$
Có: $y'=\dfrac{2\left( {{x}^{2}}-9 \right)-2x.2x}{{{\left( {{x}^{2}}-9 \right)}^{2}}}$ $=\dfrac{-2{{x}^{2}}-18}{{{\left( {{x}^{2}}-9 \right)}^{2}}}$ $=\dfrac{-2\left( {{x}^{2}}+9 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-9 \right)}^{2}}}<0\ \forall \ x\in D.$
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó là: $\left( -\infty ;\ -3 \right);\ \left( -3;\ 3 \right)$ và $\left( 3;\ +\infty \right).$
Chú ý: Cách tính giới hạn để điền vào BBT:
$\begin{aligned}& \underset{x\Rightarrow -\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{2x}{{{x}^{2}}-9}=0\cr&\underset{x\Rightarrow +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{2x}{{{x}^{2}}-9}=0 \\ & \underset{x\Rightarrow -{{3}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{2x}{{{x}^{2}}-9}=+\infty \cr&\underset{x\Rightarrow -{{3}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{2x}{{{x}^{2}}-9}=-\infty \\ & \underset{x\Rightarrow {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{2x}{{{x}^{2}}-9}=+\infty \cr& \underset{x\Rightarrow {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{2x}{{{x}^{2}}-9}=-\infty . \\ \end{aligned}$
Câu a
a) $y=\dfrac{3x+1}{1-x}$ ;Phương pháp giải:
+) Tìm tập xác định của hàm số.
+) Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm xi (I =1,2,3,…, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định
+) Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên
+) Dựa vào bảng biến thiên để kết luận khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số trên tập xác định của nó. (nếu y’ > 0 thì hàm số đồng biến, nếu y’ < 0 thì hàm số nghịch biến)
Ở bài toán này cần chú ý các tập xác định của hàm số.
Lời giải chi tiết:
$y=\dfrac{3x+1}{1-x}=\dfrac{3x+1}{-x+1}$
Tập xác định: $D=R\backslash \left\{ 1 \right\}.$
Có: $y'=\dfrac{3.1-\left(-1\right).1}{{{\left( -x+1 \right)}^{2}}}$ $=\dfrac{4}{{{\left(-x+1 \right)}^{2}}}>0\ \forall \ x\in D.$
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của nó là: $\left(-\infty ;\ 1 \right)$ và $\left(1;+\infty \right).$
Chú ý: Cách tính giới hạn để điền vào BBT: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{{3x + 1}}{{1 - x}} = - 3,$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{3x + 1}}{{1 - x}} = - \infty ,$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{3x + 1}}{{1 - x}} = + \infty $
Câu b
b\right) $y=\dfrac{x^{2}-2x}{1-x}$ ;Lời giải chi tiết:
$y=\dfrac{{{x}^{2}}-2x}{1-x}.$
Tập xác định: $D=R\backslash \left\{ 1 \right\}.$
Có: $y'=\dfrac{\left(2x-2 \right)\left(1-x \right)+{{x}^{2}}-2x}{{{\left(1-x \right)}^{2}}}$ $=\dfrac{-{{x}^{2}}+2x-2}{{{\left(1-x \right)}^{2}}}$ $=\dfrac{-\left({{x}^{2}}-2x+2 \right)}{{{\left(1-x \right)}^{2}}}$ $=\dfrac{-\left({{x}^{2}}-2x+1 \right)-1}{{{\left(1-x \right)}^{2}}}$ $=\dfrac{-{{\left(x-1 \right)}^{2}}-1}{{{\left(1-x \right)}^{2}}}$ $=-1-\dfrac{1}{{{\left(1-x \right)}^{2}}}<0\ \forall x\in D.$
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó là: $\left(-\infty ;\ 1 \right)$ và $\left(1;+\infty \right).$
Chú ý: Cách tính giới hạn để điền vào bảng biến thiên:
$\begin{align}& \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{{{x}^{2}}-2x}{1-x}=-\infty \cr& \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{{{x}^{2}}-2x}{1-x}=+\infty \ \\ & \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{3x+1}{1-x}=+\infty \cr&\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{3x+1}{1-x}=-\infty \\ \end{align}$
Câu c
c\right) $y=\sqrt{x^{2}-x-20}$ ;Lời giải chi tiết:
$y=\sqrt{{{x}^{2}}-x-20}$
Có ${{x}^{2}}-x-20\ge 0$ $\Leftrightarrow \left(x+4 \right)\left(x-5 \right)\ge 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x\le -4 \\ & x\ge 5 \\ \end{align} \right..$
Tập xác định: $D=\left(-\infty ;-4 \right]\cup \left[ 5;+\infty \right).$
Có $y'=\dfrac{2x-1}{2\sqrt{{{x}^{2}}-x-20}}$ $\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 2x-1=0$ $\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\notin D$
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;-4 \right)$ và đồng biến trên khoảng $\left( 5;+\infty \right).$
Chú ý: Cách tính giới hạn để điền vào BBT:
$\begin{aligned} & \underset{x\Rightarrow -\infty }{\mathop{\lim }} \sqrt{{{x}^{2}}-x-20}=+\infty\cr&\underset{x\Rightarrow +\infty }{\mathop{\lim }} \sqrt{{{x}^{2}}-x-20}=+\infty \\ & \underset{x\Rightarrow {{4}^{-}}}{\mathop{\lim }} \sqrt{{{x}^{2}}-x-20}=0\cr& \underset{x\Rightarrow {{5}^{+}}}{\mathop{\lim }} \sqrt{{{x}^{2}}-x-20}=0.\ \\ \end{aligned}$
Câu d
d) $y=\dfrac{2x}{x^{2}-9}$.Lời giải chi tiết:
$y=\dfrac{2x}{{{x}^{2}}-9}.$
Có ${{x}^{2}}-9\ne 0\Leftrightarrow x\ne \pm 3.$
Tập xác định: $D=R\backslash \left\{ \pm 3 \right\}.$
Có: $y'=\dfrac{2\left( {{x}^{2}}-9 \right)-2x.2x}{{{\left( {{x}^{2}}-9 \right)}^{2}}}$ $=\dfrac{-2{{x}^{2}}-18}{{{\left( {{x}^{2}}-9 \right)}^{2}}}$ $=\dfrac{-2\left( {{x}^{2}}+9 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-9 \right)}^{2}}}<0\ \forall \ x\in D.$
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó là: $\left( -\infty ;\ -3 \right);\ \left( -3;\ 3 \right)$ và $\left( 3;\ +\infty \right).$
Chú ý: Cách tính giới hạn để điền vào BBT:
$\begin{aligned}& \underset{x\Rightarrow -\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{2x}{{{x}^{2}}-9}=0\cr&\underset{x\Rightarrow +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{2x}{{{x}^{2}}-9}=0 \\ & \underset{x\Rightarrow -{{3}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{2x}{{{x}^{2}}-9}=+\infty \cr&\underset{x\Rightarrow -{{3}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{2x}{{{x}^{2}}-9}=-\infty \\ & \underset{x\Rightarrow {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{2x}{{{x}^{2}}-9}=+\infty \cr& \underset{x\Rightarrow {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{2x}{{{x}^{2}}-9}=-\infty . \\ \end{aligned}$
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!