Lý thuyết sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Câu hỏi: Lý thuyết sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Kí hiệu K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.
1. Định nghĩa
Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K ⇔ ∀x1, ​x2 ​∈ K, x1 ​< x2 ​thì f(x1​) < f(x2​).
Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K ⇔ ∀x1, ​x2 ​∈ K, x1 ​< x2 ​thì f(x1​) > f(x2​).
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu
Cho hàm số f có đạo hàm trên K.
- Nếu f đồng biến trên K thì f'(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K.
- Nếu f nghịch biến trên K thì f'(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K.
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu
Cho hàm số f có đạo hàm trên K.
- Nếu f'(x) > 0 với mọi x ∈ K thì f đồng biến trên K.
- Nếu f'(x) < 0 với mọi x ∈ K thì f nghịch biến trên K.
- Nếu f'(x) = 0 với mọi x ∈ K thì f là hàm hằng trên K.
Định lý mở rộng
- Nếu f'(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì f đồng biến trên K.
- Nếu f'(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì f nghịch biến trên K.
4. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số
i) Tìm tập xác định
ii) Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm xi ​(i= 1,2 ,..., n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
iii) Sắp xếp các điểm xi ​theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
iv) Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.