Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng
\({({x^2} - {y^2})^2} \ge 4xy{(x - y)^2},\forall x, y.\)
\({({x^2} - {y^2})^2} \ge 4xy{(x - y)^2},\forall x, y.\)
Phương pháp giải
Chuyển vế và khai triển bất phương trình
Lời giải chi tiết
\({({x^2} - {y^2})^2} - 4xy{(x - y)^2} \)
\(= {\left[ {\left( {x - y} \right)\left({x + y} \right)} \right]^2} - 4xy{\left({x - y} \right)^2}\)
\(= {\left( {x - y} \right)^2}{\left({x + y} \right)^2} - 4xy{\left({x - y} \right)^2}\)
\(= {(x - y)^2}{\rm{[(x + y}}{{\rm{)}}^2}{\rm{ - 4xy]}}\)
\(= {\left( {x - y} \right)^2}\left({{x^2} + {y^2} + 2xy - 4xy} \right)\)
\(= {\left( {x - y} \right)^2}\left({{x^2} + {y^2} - 2xy} \right)\)
\( = {(x - y)^2}{(x - y)^2} \ge 0\) (luôn đúng)
Vậy \( {({x^2} - {y^2})^2} \ge 4xy{(x - y)^2},\forall x, y\)
Chuyển vế và khai triển bất phương trình
Lời giải chi tiết
\({({x^2} - {y^2})^2} - 4xy{(x - y)^2} \)
\(= {\left[ {\left( {x - y} \right)\left({x + y} \right)} \right]^2} - 4xy{\left({x - y} \right)^2}\)
\(= {\left( {x - y} \right)^2}{\left({x + y} \right)^2} - 4xy{\left({x - y} \right)^2}\)
\(= {(x - y)^2}{\rm{[(x + y}}{{\rm{)}}^2}{\rm{ - 4xy]}}\)
\(= {\left( {x - y} \right)^2}\left({{x^2} + {y^2} + 2xy - 4xy} \right)\)
\(= {\left( {x - y} \right)^2}\left({{x^2} + {y^2} - 2xy} \right)\)
\( = {(x - y)^2}{(x - y)^2} \ge 0\) (luôn đúng)
Vậy \( {({x^2} - {y^2})^2} \ge 4xy{(x - y)^2},\forall x, y\)