Xét các số thực $x,y$ thỏa mãn ${{\log }_{2}}\left(...

ĐKXĐ: $4x+2y>0$.
Ta có:
${{\log }_{2}}\left( \dfrac{4x+2y}{2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right)\ge 2\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)+\left( {{y}^{2}}-y-1 \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 4x+2y \right)-1+2x+y\ge {{\log }_{2}}\left( 2{{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)+2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 2x+y \right)+2x+y\ge {{\log }_{2}}\left( 2{{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)+2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}$
Xét hàm số $f\left( x \right)={{\log }_{2}}x+x~~~\left( x>0 \right)\Rightarrow {f}'\left( x \right)=\dfrac{1}{x.\ln 2}+1>0~~~\forall x>0$. Vậy hàm số đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$. Ta có:
$\begin{aligned}
& f\left( 2x+y \right)\ge f\left( 2{{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\Leftrightarrow 2x+y\ge 2{{x}^{2}}+{{y}^{2}} \\
& \Leftrightarrow -y\le 2x-{{x}^{2}}-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\le 2x-{{x}^{2}}-2xy \left( 2xy\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right) \\
\end{aligned}$
Lại có:
$2x+y\ge 2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\le 1 \\
y\le 1 \\
\end{matrix} \right.$
$3\ge 2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge {{x}^{2}}+2xy\Rightarrow xy\le \dfrac{3-{{x}^{2}}}{2}$
Ta có:
$P=x-y+3xy\le x+2x-{{x}^{2}}-2xy+3xy=3x-{{x}^{2}}+xy\le 3x-{{x}^{2}}+\dfrac{3-{{x}^{2}}}{2}\le 3$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=1\Leftrightarrow y=1$.