Google
Câu hỏi: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M0(1; 2; 4), cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho \(OA = OB = OC \ne 0.\)
Lời giải chi tiết
Mặt phẳng cần tìm đi qua điểm M0(1; 2; 4) có phương trình:
\(a(x-1)+b(y-2)+c(z-4)=0\) (1)
hay \(ax+by+cz=a+2b+4c\) với \(a + 2b + 4c \ne 0\) (theo giả thiết)
Từ đó, ta xác định được tọa độ các giao điểm A, B, C là:
\(\eqalign{ & A = \left( {{{a + 2b + 4c} \over a}; 0; 0} \right)\cr&B = \left({0;{{a + 2b + 4c} \over b}; 0} \right) \cr & C = \left({0; 0;{{a + 2b + 4c} \over c}} \right) \cr} \)
Vì OA = OB = OC nên \(O{A^2} = O{B^2} = O{C^2},\) do đó ta có
\({{{{\left( {a + 2b + 4c} \right)}^2}} \over {{a^2}}} = {{{{\left({a + 2b + 4c} \right)}^2}} \over {{b^2}}} = {{{{\left({a + 2b + 4c} \right)}^2}} \over {{c^2}}}\)
Hay \({a^2} = {b^2} = {c^2}\). Có những trường hợp sau xảy ra:
+) Nếu a, b, c cùng dấu thì \(a=b=c\) và phương trình (1) trở thành
\(x+y+z-7=0\).
+) Nếu a, b cùng dấu và khác dấu với c thì \(a=b=-c\). Phương trình (1) trở thành
\(x+y-z+1=0\).
+) Nếu a, c cùng dấu và khác dấu với c thì \(a=c=-b\). Phương trình (1) trở thành
\(x-y+z-3=0\).
+) Nếu b, c cùng dấu và khác dấu với a thì \(–a=b=c\). Phương trình (1) trở thành :
\(-x+y+z-5=0\).
Mặt phẳng cần tìm đi qua điểm M0(1; 2; 4) có phương trình:
\(a(x-1)+b(y-2)+c(z-4)=0\) (1)
hay \(ax+by+cz=a+2b+4c\) với \(a + 2b + 4c \ne 0\) (theo giả thiết)
Từ đó, ta xác định được tọa độ các giao điểm A, B, C là:
\(\eqalign{ & A = \left( {{{a + 2b + 4c} \over a}; 0; 0} \right)\cr&B = \left({0;{{a + 2b + 4c} \over b}; 0} \right) \cr & C = \left({0; 0;{{a + 2b + 4c} \over c}} \right) \cr} \)
Vì OA = OB = OC nên \(O{A^2} = O{B^2} = O{C^2},\) do đó ta có
\({{{{\left( {a + 2b + 4c} \right)}^2}} \over {{a^2}}} = {{{{\left({a + 2b + 4c} \right)}^2}} \over {{b^2}}} = {{{{\left({a + 2b + 4c} \right)}^2}} \over {{c^2}}}\)
Hay \({a^2} = {b^2} = {c^2}\). Có những trường hợp sau xảy ra:
+) Nếu a, b, c cùng dấu thì \(a=b=c\) và phương trình (1) trở thành
\(x+y+z-7=0\).
+) Nếu a, b cùng dấu và khác dấu với c thì \(a=b=-c\). Phương trình (1) trở thành
\(x+y-z+1=0\).
+) Nếu a, c cùng dấu và khác dấu với c thì \(a=c=-b\). Phương trình (1) trở thành
\(x-y+z-3=0\).
+) Nếu b, c cùng dấu và khác dấu với a thì \(–a=b=c\). Phương trình (1) trở thành :
\(-x+y+z-5=0\).