Bài 49 trang 126 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Câu hỏi: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ có A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A’(0; 0; b) với a, b là những số dương và M là trung điểm của CC’.

Câu a​

Tính thể tích của tứ diện BDA’M.
Giải chi tiết:

Từ giả thiết ta có C=(a; a; 0).
\(C' = (a; a; b) \Rightarrow M = \left({a; a;{b \over 2}} \right)\)
Ta có \(\overrightarrow {BD}  = \left( { - a; a; 0} \right);\)
\(\overrightarrow {BM}  = \left( {0; a;{b \over 2}} \right); \overrightarrow {BA'}  = \left({ - a; 0; b} \right)\)
\(\Rightarrow \left( {\left[ {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BM} } \right]} \right) = \left({{{ab} \over 2};{{ab} \over 2}; - {a^2}} \right)\)
Vậy \({V_{BDA'M}} = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BM} } \right].\overrightarrow {BA'} } \right| = {{{a^2}b} \over 4}.\)

Câu b​

Tìm tỉ số \({a \over b}\) để mp(A’BD) vuông góc với mp(MBD).
Giải chi tiết:
Mặt phẳng (A’BD) có vec tơ pháp tuyến
\(\overrightarrow {{n_1}}  = \left[ {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BA'} } \right] = (ab; ab;{a^2}).\)
Mặt phẳng (MBD) có vectơ pháp tuyến
\(\overrightarrow {{n_2}}  = \left[ {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BM} } \right] = ({{ab} \over 2};{{ab} \over 2}; - {a^2}).\)
Vì vậy
\(\eqalign{  & \left( {MBD} \right) \bot (A'BD) \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 0  \cr  &  \Leftrightarrow {{{a^2}{b^2}} \over 2} + {{{a^2}{b^2}} \over 2} - {a^4} = 0  \cr  &  \Leftrightarrow {a^2}{b^2} = {a^4} \Leftrightarrow {a^2} = {b^2} \Leftrightarrow a = b \Leftrightarrow {a \over b} = 1.  \cr  &  \cr} \)
(do \(a > 0, b > 0).\)