Google
Câu hỏi: Viết phương trình mạt phẳng đi qua điểm M0(1; 1; 1), cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C, sao cho thể tích của tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết
Giả sử \(A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C = (0; 0; c)\) với \(a, b, c > 0\) và (P) là mặt phẳng phải tìm. Phương trình của (P) là :
\({x \over a} + {y \over b} + {z \over c} = 1.\)
Vì \({M_0} \in \left( P \right)\) nên \({1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} = 1.\)
Thể tích của tứ diện OABC là : \({V_{OABC}} = {1 \over 6}abc.\)
Theo bất đẳng thức Cô-si :
\(1 = {1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} \ge {3 \over {\root 3 \of {abc} }} \Leftrightarrow abc \ge 27\)
\(\Rightarrow {V_{OABC}} \ge {{27} \over 6} = {9 \over 2}\), dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=3.\)
Vậy VOABC nhỏ nhất bằng \({9 \over 2}\) khi \(a=b=c=3\), khi đó phương trình mặt phẳng (P) là \(x+y+z-3=0.\)
Giả sử \(A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C = (0; 0; c)\) với \(a, b, c > 0\) và (P) là mặt phẳng phải tìm. Phương trình của (P) là :
\({x \over a} + {y \over b} + {z \over c} = 1.\)
Vì \({M_0} \in \left( P \right)\) nên \({1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} = 1.\)
Thể tích của tứ diện OABC là : \({V_{OABC}} = {1 \over 6}abc.\)
Theo bất đẳng thức Cô-si :
\(1 = {1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} \ge {3 \over {\root 3 \of {abc} }} \Leftrightarrow abc \ge 27\)
\(\Rightarrow {V_{OABC}} \ge {{27} \over 6} = {9 \over 2}\), dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=3.\)
Vậy VOABC nhỏ nhất bằng \({9 \over 2}\) khi \(a=b=c=3\), khi đó phương trình mặt phẳng (P) là \(x+y+z-3=0.\)