Bài 3 trang 146 SGK Giải tích 12

Câu hỏi: Cho hàm số : \(y = {x^3} + a{x^2} + bx + 1.\)

Câu a​

a) Tìm a và b để đồ thị của hàm số đi qua hai điểm A(1,2) và B(-2, -1)
Phương pháp giải:
Thay tọa độ của hai điểm A và B vào công thức hàm số rồi giải hệ phương trình gồm 2 ẩn a, b để tìm a, b.
Lời giải chi tiết:
Đồ thị hàm số đi qua hai điểm \(A(1; 2)\) và \(B (-2; -1)\) khi và chỉ khi:
\(\left\{ \matrix{
2 = 1 + a + b + 1 \hfill \cr 
- 1 = - 8 + 4a - 2b + 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = 1 \hfill \cr 
b = - 1 \hfill \cr} \right.\)

Câu b​

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với các giá trị tìm được của a và b.
Phương pháp giải:
Thay các giá trị của a, b vừa tìm được vào công thức hàm số sau đó khảo sát và vẽ đồ thị hàm số theo các bước đã được học.
Lời giải chi tiết:
Khi \(a = 1, b = -1\) ta có hàm số: \(y = {x^3} + {x^2} - x + 1.\)
- Tập xác định: \((-∞; + ∞).\)
- Sự biến thiên: \(y' = 3{x^2} + 2x - 1.\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} + 2x - 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left({3x - 1} \right)\left({x + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3x - 1 = 0\\
x + 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{1}{3}\\
x = - 1
\end{array} \right..
\end{array}\)
Trên các khoảng \((-∞; -1)\) và \(\displaystyle ({1 \over 3}; + \infty) ,   y’>0 \) nên hàm số đồng biến
Trên khoảng \(\displaystyle ( - 1; {1 \over 3}),   y’ < 0\) nên hàm số nghịch biến
- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại \(x =  - 1; {y_{CD}} = 2.\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(\displaystyle x = {1 \over 3},{y_{CT}} = {{22} \over {27}}\)
- Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty \)
Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Đồ thị cắt trục tung tại  điểm có tung độ \(y = 1\), cắt trục hoành tại điểm có hoành độ \(x ≈ -1,84.\)

Câu c​

c) Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng \(y = 0, x = 0, x = 1 \) và đồ thị (C) quanh trục hoành.
Phương pháp giải:
Cho hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số  \(y = f\left( x \right); y = g\left(x \right) \) và hai đường thẳng \(x=a; x=b (a<b).\) Khi quay hình phẳng trên quanh trục \(Ox\) ta được khối tròn xoay có thể tích được tính bởi công thức:  \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left(x \right)} \right|dx} .\)
Lời giải chi tiết:
Trong khoảng \((0; 1)\) ta có \(y > 0.\)
Vì vậy, thể tích cần tìm là:
\(\begin{array}{l}
V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left({{x^3} + {x^2} - x + 1} \right)}^2}dx} \\
= \pi \int\limits_0^1 {\left({{x^6} + 2{x^5} - {x^4} + 3{x^2} - 2x + 1} \right)dx} \\
= \left. {\pi \left({\dfrac{{{x^7}}}{7} + \dfrac{{{x^6}}}{3} - \dfrac{{{x^5}}}{5} + {x^3} - {x^2} + x} \right)} \right|_0^1 \\ = \dfrac{{134\pi }}{{105}}.
\end{array}\)