Google
Câu hỏi: Cho hàm số \(\displaystyle y = {2 \over {2 - x}}\)
Phương pháp giải:
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số theo các bước đã được học.
Lời giải chi tiết:
- Tập xác định: \(D=(-∞, 2) ∪(2, +∞).\)
- Sự biến thiên: \(\displaystyle y' = {2 \over {{{(2 - x)}^2}}} > 0,\forall x \in D\)
Nên hàm số đồng biến trên hai khoảng này.
- Hàm số không có cực trị
- Giới hạn tại vô cực và tiệm cận ngang
\(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {2 \over {2 - x}} = 0;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {2 \over {2 - x}} = 0\)
\(\Rightarrow y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
- Giới hạn vô cực và tiệm cận đứng:
\(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} ({2 \over {2 - x}}) = - \infty ;\) \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} ({2 \over {2 - x}}) = + \infty \)
\(\Rightarrow x = 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
- Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
Đồ thị hàm số:
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ \(y = 1\), không cắt trục hoành.
Phương pháp giải:
Giải phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \((C)\) với đồ thị hàm số \(y=x^2+1\) tìm các giao điểm.
+) Sau đó lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \((C)\) dựa vào công thức: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(x=x_0\) có công thức: \(y = y'\left( {{x_0}} \right)\left({x - {x_0}} \right) + {y_0}.\)
Lời giải chi tiết:
Phương trình xác định hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:
\(\displaystyle {2 \over {2 - x}} = {x^2} + 1\) \(\Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} + x = 0 \Leftrightarrow x \in \left\{ {0,1} \right\}\)
Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm \(M_1(0; 1); M_2(1; 2).\)
Tiếp tuyến với đồ thị (C): \(\displaystyle y = {2 \over {2 - x}}\) tại điểm \(M_1\) có phương trình là:
\(y = y'\left( 0 \right)\left({x - 0} \right) + 1 = \dfrac{1}{2}x + 1\).
Tiếp tuyến tại điểm \(M_2\) có phương trình \(y =y'(1)(x-1)+2\) \(= 2(x – 1) + 2 = 2x.\)
Phương pháp giải:
Khi quay hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y=f(x), y=g(x)\) và các đường thẳng \(x=a, x=b (a<b)\) quanh trục \(Ox\) có thể tích được tính bởi công thức:
$V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx.} $
Lời giải chi tiết:
Trong khoảng \((0; 1)\) đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành nên thể tích cần tính là :
\(\displaystyle V = \pi \int_0^1 {({2 \over {2 - x}}} {)^2}dx = \left. {\pi .\frac{4}{{2 - x}}} \right|_0^1 \) \(= 2\pi. \)
Câu a
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \((C)\) của hàm số đã cho.Phương pháp giải:
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số theo các bước đã được học.
Lời giải chi tiết:
- Tập xác định: \(D=(-∞, 2) ∪(2, +∞).\)
- Sự biến thiên: \(\displaystyle y' = {2 \over {{{(2 - x)}^2}}} > 0,\forall x \in D\)
Nên hàm số đồng biến trên hai khoảng này.
- Hàm số không có cực trị
- Giới hạn tại vô cực và tiệm cận ngang
\(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {2 \over {2 - x}} = 0;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {2 \over {2 - x}} = 0\)
\(\Rightarrow y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
- Giới hạn vô cực và tiệm cận đứng:
\(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} ({2 \over {2 - x}}) = - \infty ;\) \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} ({2 \over {2 - x}}) = + \infty \)
\(\Rightarrow x = 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
- Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
Đồ thị hàm số:
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ \(y = 1\), không cắt trục hoành.
Câu b
b) Tìm các giao điểm của \((C)\) và đồ thị của hàm số \(y=x^2+1.\) Viết phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại mỗi giao điểm.Phương pháp giải:
Giải phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \((C)\) với đồ thị hàm số \(y=x^2+1\) tìm các giao điểm.
+) Sau đó lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \((C)\) dựa vào công thức: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(x=x_0\) có công thức: \(y = y'\left( {{x_0}} \right)\left({x - {x_0}} \right) + {y_0}.\)
Lời giải chi tiết:
Phương trình xác định hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:
\(\displaystyle {2 \over {2 - x}} = {x^2} + 1\) \(\Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} + x = 0 \Leftrightarrow x \in \left\{ {0,1} \right\}\)
Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm \(M_1(0; 1); M_2(1; 2).\)
Tiếp tuyến với đồ thị (C): \(\displaystyle y = {2 \over {2 - x}}\) tại điểm \(M_1\) có phương trình là:
\(y = y'\left( 0 \right)\left({x - 0} \right) + 1 = \dfrac{1}{2}x + 1\).
Tiếp tuyến tại điểm \(M_2\) có phương trình \(y =y'(1)(x-1)+2\) \(= 2(x – 1) + 2 = 2x.\)
Câu c
c) Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị (C) và các đường thẳng \(y = 0, x = 0, x = 1\) xung quanh trục \(Ox.\)Phương pháp giải:
Khi quay hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y=f(x), y=g(x)\) và các đường thẳng \(x=a, x=b (a<b)\) quanh trục \(Ox\) có thể tích được tính bởi công thức:
$V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx.} $
Lời giải chi tiết:
Trong khoảng \((0; 1)\) đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành nên thể tích cần tính là :
\(\displaystyle V = \pi \int_0^1 {({2 \over {2 - x}}} {)^2}dx = \left. {\pi .\frac{4}{{2 - x}}} \right|_0^1 \) \(= 2\pi. \)
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!