Google
Câu hỏi: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}2x+(3m + 1)y = m - 1\\(m + 2)x + (4m + 3)y = m\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}2x+(3m + 1)y = m - 1\\(m + 2)x + (4m + 3)y = m\end{array} \right.\)
Phương pháp giải
Hướng dẫn: Giải và biện luận theo m có nghĩa là xét xem với giá trị nào của m thì hệ phương trình vô nghiệm, với giá trị nào của m thì hệ phương trình có 1 nghiệm, giá trị nghiệm là bao nhiêu, với giá trị nào của m thì hệ phương trình có vô số nghiệm.
Để giải và biện luận hệ phương trình trên ta dùng phương pháp cộng đại số để khử một ẩn.
Lời giải chi tiết
Nhân phương trình thứ nhất của hệ với m + 2, nhân phương trình thứ hai với 2 ta được hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}2(m + 2)x + (3m + 1)(m + 2)y = (m - 1)(m + 2)\\2(m + 2)x + 2(4m + 3)y = 2m\end{array} \right.\)
Trừ hai phương trình vế theo vế ta được phương trình:
\(\begin{array}{l}
\left({3m + 1} \right)\left({m + 2} \right)y - 2\left({4m + 3} \right)y = \left({m - 1} \right)\left({m + 2} \right) - 2m\\
\Leftrightarrow \left({3{m^2} + 7m + 2} \right)y - \left({8m + 6} \right)y = {m^2} + m - 2 - 2m\\
\Leftrightarrow \left({3{m^2} + 7m + 2 - 8m - 6} \right)y = {m^2} - m - 2\\
\Leftrightarrow \left({3{m^2} - m - 4} \right)y = {{m^2} - m - 2}
\end{array}\)
\(\Leftrightarrow (m+1)(3m-4)y = (m + 1)(m - 2)\) (1)
+Với \(m = - 1\) phương trình (1) có dạng:
\(0y = 0\)
Phương trình này nhận mọi giá trị thực của y làm nghiệm.
Lúc đó thay \(m = - 1\) vào hệ phương trình đã cho, hai phương trình trở thành một phương trình.
\(x - y = - 1\) \(\Leftrightarrow y = x + 1\), \(x\) tùy ý.
+Với \(m = \dfrac{4}{3}\) phương trình (1) có dạng.
\(0y = - \dfrac{{14}}{9}\).
Phương trình này vô nghiệm, do đó hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
+Với \(m \ne - 1\) và \(m \ne \dfrac{4}{3}\), phương trình (1) có nghiệm duy nhất
\(y = \dfrac{{m - 2}}{{3m - 4}}\)
Thay vào một trong hai phương trình của hệ đã cho ta suy ra
\(x = \dfrac{{ - m + 3}}{{3m - 4}}\).
Kết luận
\(m = \dfrac{4}{3}\): Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
\(m = - 1\): Hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm
\(x = a, y = a + 1\), a là số thực tùy ý.
\(m \ne - 1\),\(m \ne \dfrac{4}{3}\): Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \((x; y) = (\dfrac{{3 - m}}{{3m - 4}};\dfrac{{m - 2}}{{3m - 4}})\)
Hướng dẫn: Giải và biện luận theo m có nghĩa là xét xem với giá trị nào của m thì hệ phương trình vô nghiệm, với giá trị nào của m thì hệ phương trình có 1 nghiệm, giá trị nghiệm là bao nhiêu, với giá trị nào của m thì hệ phương trình có vô số nghiệm.
Để giải và biện luận hệ phương trình trên ta dùng phương pháp cộng đại số để khử một ẩn.
Lời giải chi tiết
Nhân phương trình thứ nhất của hệ với m + 2, nhân phương trình thứ hai với 2 ta được hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}2(m + 2)x + (3m + 1)(m + 2)y = (m - 1)(m + 2)\\2(m + 2)x + 2(4m + 3)y = 2m\end{array} \right.\)
Trừ hai phương trình vế theo vế ta được phương trình:
\(\begin{array}{l}
\left({3m + 1} \right)\left({m + 2} \right)y - 2\left({4m + 3} \right)y = \left({m - 1} \right)\left({m + 2} \right) - 2m\\
\Leftrightarrow \left({3{m^2} + 7m + 2} \right)y - \left({8m + 6} \right)y = {m^2} + m - 2 - 2m\\
\Leftrightarrow \left({3{m^2} + 7m + 2 - 8m - 6} \right)y = {m^2} - m - 2\\
\Leftrightarrow \left({3{m^2} - m - 4} \right)y = {{m^2} - m - 2}
\end{array}\)
\(\Leftrightarrow (m+1)(3m-4)y = (m + 1)(m - 2)\) (1)
+Với \(m = - 1\) phương trình (1) có dạng:
\(0y = 0\)
Phương trình này nhận mọi giá trị thực của y làm nghiệm.
Lúc đó thay \(m = - 1\) vào hệ phương trình đã cho, hai phương trình trở thành một phương trình.
\(x - y = - 1\) \(\Leftrightarrow y = x + 1\), \(x\) tùy ý.
+Với \(m = \dfrac{4}{3}\) phương trình (1) có dạng.
\(0y = - \dfrac{{14}}{9}\).
Phương trình này vô nghiệm, do đó hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
+Với \(m \ne - 1\) và \(m \ne \dfrac{4}{3}\), phương trình (1) có nghiệm duy nhất
\(y = \dfrac{{m - 2}}{{3m - 4}}\)
Thay vào một trong hai phương trình của hệ đã cho ta suy ra
\(x = \dfrac{{ - m + 3}}{{3m - 4}}\).
Kết luận
\(m = \dfrac{4}{3}\): Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
\(m = - 1\): Hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm
\(x = a, y = a + 1\), a là số thực tùy ý.
\(m \ne - 1\),\(m \ne \dfrac{4}{3}\): Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \((x; y) = (\dfrac{{3 - m}}{{3m - 4}};\dfrac{{m - 2}}{{3m - 4}})\)