Bài 3.45 trang 77 SBT đại số 10

Câu hỏi: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m.

Câu a​

\(|2x - 5m| = 2x - 3m\);
Phương pháp giải:
+ Đặt điều kiện cho phương trình; Phá bỏ trị tuyệt đối
Lời giải chi tiết:
Với \(2x - 5m \ge 0\) \(\Leftrightarrow x \ge \dfrac{{5m}}{2}\) phương trình đã cho trở thành
\(2x - 5m = 2x - 3m\) \(\Leftrightarrow 2m = 0\) \(\Leftrightarrow m = 0\)
Vậy với \(m = 0\) thì mọi \(x \ge 0\)đều là nghiệm của phương trình.
Với \(2x - 5m < 0 \Leftrightarrow \) \(x < \dfrac{{5m}}{2}\) phương trình đã cho trở thành
\(- 2x + 5m = 2x - 3m\) \(\Leftrightarrow 4x = 8m\) \(\Leftrightarrow x = 2m\)
Vì \(x < \dfrac{{5m}}{2}\)nên \(2m < \dfrac{{5m}}{2}\) \(\Leftrightarrow m > 0\)
Kết luận:
Với m > 0 phương trình có nghiệm là \(x = 2m\)
Với m = 0 phương trình có nghiệm là mọi số thực không âm.
Với m < 0 phương trình vô nghiệm.

Câu b​

\(|3x + 4m| = |4x - 7m|\);
Phương pháp giải:
+ Đặt điều kiện cho phương trình; Phá bỏ trị tuyệt đối
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(|3x + 4m| = |4x - 7m|\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + 4m = 4x - 7m\\3x + 4m =  - 4x + 7m\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 11m\\x = \dfrac{{3m}}{7}\end{array} \right.\)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(x_1 = 11m\) và \(x_2 = \dfrac{{3m}}{7}\) với mọi giá trị của m.

Câu c​

\((m + 1){x^2} + (2m - 3)x + m + 2 = 0\);
Phương pháp giải:
+ Đặt điều kiện cho phương trình; Phá bỏ trị tuyệt đối
Lời giải chi tiết:
Với \(m =  - 1\) phương trình đã cho trở thành
\(- 5x + 1 = 0\) \(\Leftrightarrow x = \dfrac{1}{5}\)
Với \(m \ne  - 1\) phương trình đã cho là một phương trình bậc hai, có biệt thức \(\Delta  =  - 24m + 1.\)
Nếu \(m \le \dfrac{1}{{24}}\)thì \(\Delta  \ge 0\), phương trình có hai nghiệm
\({x_{1,2}} = \dfrac{{2m - 3 \pm \sqrt {1 - 24m} }}{{2(m + 1)}}\)
Kết luận:
Với \(m > \dfrac{1}{{24}}\)phương trình vô nghiệm.
Với \(m \le \dfrac{1}{{24}}\)và \(m \ne  - 1\) phương trình có hai nghiệm.
\({x_{1,2}} = \dfrac{{2m - 3 \pm \sqrt {1 - 24m} }}{{2(m + 1)}}\)
Với \(m =  - 1\) phương trình có nghiệm là \(x = \dfrac{1}{5}\).

Câu d​

\(\dfrac{{{x^2} - (m + 1)x - \dfrac{{21}}{4}}}{{x - 3}} = 2x + m\)
Phương pháp giải:
+ Đặt điều kiện cho phương trình; Phá bỏ trị tuyệt đối
Lời giải chi tiết:
Điều kiện của phương trình là: \(x \ne 3.\)
Ta có
\(\dfrac{{{x^2} - (m + 1)x - \dfrac{{21}}{4}}}{{x - 3}} = 2x + m\) \(\Rightarrow {x^2} - (m + 1)x - \dfrac{{21}}{4} = (x - 3)(2x + m)\) \( \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 1} \right)x - \frac{{21}}{4} = 2{x^2} + \left({m - 6} \right)x - 3m\)
\(\Leftrightarrow {x^2} + (2m - 5)x + \dfrac{{21}}{4} - 3m = 0\)
Ta có:
\(\Delta  = {\left( {2m - 5} \right)^2} - 4\left({\frac{{21}}{4} - 3m} \right) \) \(= 4{m^2} - 20m + 25 - 21 + 12m \) \(= 4{m^2} - 8m + 4 \) \(= 4{\left( {m - 1} \right)^2}\ge 0, \forall m\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = \frac{{ - 2m + 5 + 2\left({m - 1} \right)}}{2} = \frac{3}{2}\\
{x_2} = \frac{{ - 2m + 5 - 2\left({m - 1} \right)}}{2} = \frac{{7 - 4m}}{2}
\end{array} \right.\)
Phương trình cuối luôn có nghiệm \({x_1} = \dfrac{3}{2},{x_2} = \dfrac{{7 - 4m}}{2}\).
Ta có: \(\dfrac{{7 - 4m}}{2} \ne 3\) \( \Leftrightarrow 7 - 4m \ne 6\) \(\Leftrightarrow m \ne \dfrac{1}{4}\)
Kết luận
Với \(m \ne \dfrac{1}{4}\)phương trình đã cho có hai nghiệm \(x = \dfrac{3}{2}\)và \(x = \dfrac{{7 - 4m}}{2}\).
Với \(m = \dfrac{1}{4}\)phương trình có một nghiệm \(x = \dfrac{3}{2}\).