Bài 3.46 trang 77 SBT đại số 10

Phương pháp giải
Đưa phương trình về hệ phương trình cơ bản bằng cách đặt ẩn số phụ
Lời giải chi tiết
ĐK: \(\frac{1}{2} - x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{1}{2}\)
Đặt \(u = \sqrt[3]{{\dfrac{1}{2} + x}}, v = \sqrt {\dfrac{1}{2} - x} \), điều kiện \(v \ge 0\).
Ta được hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}u + v = 1\\{u^3} + {v^2} = 1\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
v = 1 - u\\
{u^2} + {\left({1 - u} \right)^2} = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
v = 1 - u\\
{u^3} + 1 - 2u + {u^2} = 1
\end{array} \right.
\end{array}\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = 1 - u(1)\\{u^3} + {u^2} - 2u = 0(2)\end{array} \right.\)
(2)\(\Leftrightarrow u({u^2} + u - 2) = 0\).
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
u = 0\\
{u^2} + u - 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
u = 0\\
u = 1\\
u = - 2
\end{array} \right.\)
+Với \(u = 0\) ta có \(v = 1\) (TM)
\(\Rightarrow \sqrt {\frac{1}{2} - x}  = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2} - x = 1 \) \(\Leftrightarrow x =  - \frac{1}{2}\)
+Với \(u = 1\) ta có \(v = 0\) (TM)
\(\Rightarrow \sqrt {\frac{1}{2} - x}  = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2} - x = 0 \) \(\Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\)
+Với \(u =  - 2\) ta có \(v = 3\) (TM)
\(\Rightarrow \sqrt {\frac{1}{2} - x}  = 3 \Leftrightarrow \frac{1}{2} - x = 9\) \(  \Leftrightarrow x =  - \frac{{17}}{2}\)
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm
\(x_1 =  - \dfrac{1}{2}\), \(x_2 = \dfrac{1}{2}\)và \(x_3 =  - \dfrac{{17}}{2}\).