Google
Câu hỏi: Hình thang cân \(ABCD\) \((AB // CD)\) có \(\widehat C=60^0,\) \(DB\) là tia phân giác của góc \(D.\) Tính các cạnh của hình thang, biết chu vi hình thang bằng \(20cm.\)
Phương pháp giải
Ta sử dụng kiến thức:
+) Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.
+) Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau.
+) Tam giác có hai góc \(60^0\) thì tam giác đó là tam giác đều.
Lời giải chi tiết
Hình thang \(ABCD\) cân có \(AB // CD\)
\( \Rightarrow \widehat D = \widehat C = {60^0}\)
\(DB\) là tia phân giác của góc \(D\)
\( \Rightarrow \widehat {D_1} = \widehat {D_2}=\dfrac{1}{2}\widehat D=30^0\)
Mà \(AB//CD\) nên \(\widehat {B_1} = \widehat {D_2}\) (hai góc so le trong)
Suy ra: \(\widehat {D_1} = \widehat {B_1}\)
\(⇒ ∆ ABD\) cân tại \(A\) \(⇒ AB = AD (1)\)
Từ \(B\) kẻ đường thẳng song song với \(AD\) cắt \(CD\) tại \(E\)
Hình thang \(ABED\) (do \(AB//DE)\) có hai cạnh bên song song nên \(AB = ED,\) \(AD= BE\) \((2)\)
Lại có \(AB//CD\) nên \(\widehat {BEC} = \widehat {ADC}=60^0\) (hai góc đồng vị )
Suy ra: \(\widehat {BEC} = \widehat C = {60^0}\)
\(⇒∆ BEC\) đều \(⇒ EC = BC (3)\)
Vì ABCD là hình thang cân nên \(AD = BC\) (tính chất) \((4)\)
Từ \((1),\) \((2),\) \((3)\) và \((4)\) \(⇒ AB = BC = AD = ED = EC\)
Chu vi hình thang \(ABCD\) bằng:
\(AB + BC + CD + AD \)\(= AB + BC + EC +ED +AD\)\( = 5AB\)
\(⇒AB = BC = AD = 20:5 = 4 (cm)\)
\(CD = CE + DE = 2 AB \)\(= 2.4 = 8 (cm)\)
Ta sử dụng kiến thức:
+) Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.
+) Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau.
+) Tam giác có hai góc \(60^0\) thì tam giác đó là tam giác đều.
Lời giải chi tiết
Hình thang \(ABCD\) cân có \(AB // CD\)
\( \Rightarrow \widehat D = \widehat C = {60^0}\)
\(DB\) là tia phân giác của góc \(D\)
\( \Rightarrow \widehat {D_1} = \widehat {D_2}=\dfrac{1}{2}\widehat D=30^0\)
Mà \(AB//CD\) nên \(\widehat {B_1} = \widehat {D_2}\) (hai góc so le trong)
Suy ra: \(\widehat {D_1} = \widehat {B_1}\)
\(⇒ ∆ ABD\) cân tại \(A\) \(⇒ AB = AD (1)\)
Từ \(B\) kẻ đường thẳng song song với \(AD\) cắt \(CD\) tại \(E\)
Hình thang \(ABED\) (do \(AB//DE)\) có hai cạnh bên song song nên \(AB = ED,\) \(AD= BE\) \((2)\)
Lại có \(AB//CD\) nên \(\widehat {BEC} = \widehat {ADC}=60^0\) (hai góc đồng vị )
Suy ra: \(\widehat {BEC} = \widehat C = {60^0}\)
\(⇒∆ BEC\) đều \(⇒ EC = BC (3)\)
Vì ABCD là hình thang cân nên \(AD = BC\) (tính chất) \((4)\)
Từ \((1),\) \((2),\) \((3)\) và \((4)\) \(⇒ AB = BC = AD = ED = EC\)
Chu vi hình thang \(ABCD\) bằng:
\(AB + BC + CD + AD \)\(= AB + BC + EC +ED +AD\)\( = 5AB\)
\(⇒AB = BC = AD = 20:5 = 4 (cm)\)
\(CD = CE + DE = 2 AB \)\(= 2.4 = 8 (cm)\)