Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
Phương pháp giải
Ta sử dụng kiến thức:
+) Hình thâng cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
+) Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Giả sử ABCD là hình thang có hai đường chéo \(AC=BD\). Ta chứng minh \(ABCD\) là hình thang cân.
Từ \(B\) kẻ đường thẳng song song với \(AC\) cắt đường thẳng \(DC\) tại \(K.\)
Ta có hình thang \(ABKC\) (do AB//CK) có hai cạnh bên \(BK // AC\) nên \(AC = BK\)
Mà \(AC = BD (gt)\)
Suy ra: \(BD = BK\) do đó \(∆ BDK\) cân tại \(B\)
\( \Rightarrow {\widehat D_1} = \widehat K\) (tính chất tam giác cân)
Ta lại có: \({\widehat C_1} = \widehat K\) (hai góc đồng vị)
Suy ra: \({\widehat D_1} = {\widehat C_1}\)
Xét \(∆ ACD\) và \(∆ BDC:\)
\(AC = BD (gt)\)
\({\widehat D_1} = {\widehat C_1}\) (chứng minh trên)
\(CD\) cạnh chung
Do đó: \(∆ ACD = ∆ BDC (c.g.c)\) \( \Rightarrow \widehat {ADC} = \widehat {BCD}\)
Hình thang \(ABCD\) có \(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\) nên là hình thang cân.
Ta sử dụng kiến thức:
+) Hình thâng cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
+) Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Giả sử ABCD là hình thang có hai đường chéo \(AC=BD\). Ta chứng minh \(ABCD\) là hình thang cân.
Từ \(B\) kẻ đường thẳng song song với \(AC\) cắt đường thẳng \(DC\) tại \(K.\)
Ta có hình thang \(ABKC\) (do AB//CK) có hai cạnh bên \(BK // AC\) nên \(AC = BK\)
Mà \(AC = BD (gt)\)
Suy ra: \(BD = BK\) do đó \(∆ BDK\) cân tại \(B\)
\( \Rightarrow {\widehat D_1} = \widehat K\) (tính chất tam giác cân)
Ta lại có: \({\widehat C_1} = \widehat K\) (hai góc đồng vị)
Suy ra: \({\widehat D_1} = {\widehat C_1}\)
Xét \(∆ ACD\) và \(∆ BDC:\)
\(AC = BD (gt)\)
\({\widehat D_1} = {\widehat C_1}\) (chứng minh trên)
\(CD\) cạnh chung
Do đó: \(∆ ACD = ∆ BDC (c.g.c)\) \( \Rightarrow \widehat {ADC} = \widehat {BCD}\)
Hình thang \(ABCD\) có \(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\) nên là hình thang cân.