Bài 3.23 trang 155 SBT hình học 10

Câu hỏi: Cho đường tròn \(\left( C \right)\): \({x^2} + {y^2} - 6x + 2y + 6 = 0\) và điểm \(A(1; 3)\).

Câu a​

Chứng tỏ rằng điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( C \right)\).
Phương pháp giải:
Điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn nếu \(IA > R\).
Giải chi tiết:
\(\left( C \right)\) có tâm \(I (3;-1)\) và có bán kính \(R = 2\), ta có:
\(IA = \sqrt {{{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left({ - 1 - 3} \right)}^2}}  = 2\sqrt 5 \) và \(IA > R\).
Vậy \(A\) nằm ngoài \(\left( C \right)\).

Câu b​

Lập phương trình tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) xuất phát từ điểm \(A\).
Phương pháp giải:
Viết dạng phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\).
\(\Delta \) là tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) nếu và chỉ nếu \(d\left( {I,\Delta } \right) = R\).
Giải chi tiết:
Gọi \(\Delta :ax + by + c = 0\).
\(A \in \Delta  \Leftrightarrow a + 3b + c = 0\) \(\Leftrightarrow c =  - a - 3b\) hay \(\Delta :ax + by - a - 3b = 0\)
\(\Delta \) là tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) \(\Leftrightarrow d\left( {I,\Delta } \right) = R\) \(\Leftrightarrow \dfrac{{\left| {3a - b - a - 3b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2\)
\(\Leftrightarrow \left| {2a - 4b} \right| = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) \(\Leftrightarrow \left| {a - 2b} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \) \(\Leftrightarrow {\left( {a - 2b} \right)^2} = {a^2} + {b^2}\) \(\Leftrightarrow {a^2} - 4ab + 4{b^2} = {a^2} + {b^2}\) \(\Leftrightarrow 3{b^2} - 4ab = 0\) \(\Leftrightarrow b\left( {3b - 4a} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\4a = 3b\end{array} \right.\)
Với \(b = 0\), chọn \(a = 1\) ta được \({\Delta _1}:x - 1 = 0\).
Với \(4a = 3b\), chọn \(a = 3, b = 4\) ta được \({\Delta _2}:3x + 4y - 15 = 0\).
Vậy \({\Delta _1}:x - 1 = 0\), \({\Delta _2}:3x + 4y - 15 = 0\).