Google
Câu hỏi: Lập phương trình của đường tròn \(\left( C \right)\) tiếp xúc với các trục tọa độ và đi qua \(M(4; 2)\).
Phương pháp giải
- Gọi dạng của phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) tiếp xúc với cả \(Ox\) và \(Oy\) là \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left({y - a} \right)^2} = {a^2}\)
Lời giải chi tiết
Gọi tâm \(I\left( {a; b} \right)\)
\(\left( C \right)\) tiếp xúc với hai trục tọa độ \(\Leftrightarrow d\left( {I, Ox} \right) = d\left({I, Oy} \right)=R\) \(\Leftrightarrow \left| b \right| = \left| a \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = a\\b = - a\end{array} \right.\)
Do \(\left( C \right)\) đi qua \(M\left( {4; 2} \right)\) nên \(\left( C \right)\) nằm ở góc phần tư thứ nhất hay \(R=b = a > 0\).
Phương trình của \(\left( C \right)\) có dạng \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left({y - a} \right)^2} = {a^2}\), ta có:
\(M \in \left( C \right)\) \(\Leftrightarrow {\left( {4 - a} \right)^2} + {\left({2 - a} \right)^2} = {a^2}\) \(\Leftrightarrow {a^2} - 12a + 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2\\a = 10\end{array} \right.\)
Với \(a = 2 \) \(\Rightarrow \left( {{C_1}} \right):{\left({x - 2} \right)^2} + {\left({y - 2} \right)^2} = 4\).
Với \(a = 10 \) \(\Rightarrow \left( {{C_2}} \right):{\left({x - 10} \right)^2} + {\left({y - 10} \right)^2} = 100\)
- Gọi dạng của phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) tiếp xúc với cả \(Ox\) và \(Oy\) là \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left({y - a} \right)^2} = {a^2}\)
Lời giải chi tiết
Gọi tâm \(I\left( {a; b} \right)\)
\(\left( C \right)\) tiếp xúc với hai trục tọa độ \(\Leftrightarrow d\left( {I, Ox} \right) = d\left({I, Oy} \right)=R\) \(\Leftrightarrow \left| b \right| = \left| a \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = a\\b = - a\end{array} \right.\)
Do \(\left( C \right)\) đi qua \(M\left( {4; 2} \right)\) nên \(\left( C \right)\) nằm ở góc phần tư thứ nhất hay \(R=b = a > 0\).
Phương trình của \(\left( C \right)\) có dạng \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left({y - a} \right)^2} = {a^2}\), ta có:
\(M \in \left( C \right)\) \(\Leftrightarrow {\left( {4 - a} \right)^2} + {\left({2 - a} \right)^2} = {a^2}\) \(\Leftrightarrow {a^2} - 12a + 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2\\a = 10\end{array} \right.\)
Với \(a = 2 \) \(\Rightarrow \left( {{C_1}} \right):{\left({x - 2} \right)^2} + {\left({y - 2} \right)^2} = 4\).
Với \(a = 10 \) \(\Rightarrow \left( {{C_2}} \right):{\left({x - 10} \right)^2} + {\left({y - 10} \right)^2} = 100\)