Google
Câu hỏi: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} - 8x - 6y = 0\) biết rằng tiếp tuyến đó đi qua gốc tọa độ \(O\).
Phương pháp giải
Nhận xét: Gốc tọa độ \(O\) thuộc đường tròn nên tiếp tuyến đi qua \(O\) và nhận \(\overrightarrow {OI} \) làm VTPT.
Lời giải chi tiết
Đường tròn \(\left( C \right)\): \({x^2} + {y^2} - 8x - 6y = 0\) có tâm \(I(4; 3)\) và bán kính \(R = 5\).
Cách 1: Do tọa độ \(O(0; 0)\) thỏa mãn phương trình của \(\left( C \right)\) nên điểm \(O\) nằm trên \(\left( C \right)\).
Tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại \(O\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \overrightarrow {OI} = (4; 3)\).
Suy ra \(\Delta \) có phương trình \(4x + 3y = 0.\)
Cách 2: Xét đường thẳng \(\Delta \) đi qua gốc tọa độ \(O \) và có hệ số góc \(k\), \(\Delta \) có phương trình \(y - kx = 0\).
Ta có: \(\Delta \) tiếp xúc với \(\left( C \right)\)\(\Leftrightarrow d(I,\Delta) = R\)\(\Leftrightarrow \dfrac{{\left| {3 - 4k} \right|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 5\)\(\Leftrightarrow {\left( {3 - 4k} \right)^2} = 25({k^2} + 1)\)
\(\Leftrightarrow 9 + 16{k^2} - 24k = 25{k^2} + 25\)\(\Leftrightarrow 9{k^2} + 24k + 16 = 0\)\(\Leftrightarrow k = - \dfrac{4}{3}.\)
Vậy ta được phương trình tiếp tuyến là:\(y + \dfrac{4}{3}x = 0\) hay\(4x + 3y = 0\).
Trường hợp \(\Delta \) không có hệ số góc \(\left( {\Delta \bot Ox} \right)\) có phương trình dạng \(x + c = 0\).
\(O\left( {0; 0} \right) \in \Delta \) \(\Rightarrow 0 + c = 0 \Leftrightarrow c = 0\) ta được đường thẳng \(x = 0\).
Dễ thấy \(d\left( {I,\Delta } \right) = 4 \ne 5 = R\) nên \(\Delta \) không tiếp xúc với \(\left( C \right)\).
Vậy trường này không thỏa mãn nên chí có duy nhất một tiếp tuyến cần tìm là \(4x + 3y = 0\).
Nhận xét: Gốc tọa độ \(O\) thuộc đường tròn nên tiếp tuyến đi qua \(O\) và nhận \(\overrightarrow {OI} \) làm VTPT.
Lời giải chi tiết
Đường tròn \(\left( C \right)\): \({x^2} + {y^2} - 8x - 6y = 0\) có tâm \(I(4; 3)\) và bán kính \(R = 5\).
Cách 1: Do tọa độ \(O(0; 0)\) thỏa mãn phương trình của \(\left( C \right)\) nên điểm \(O\) nằm trên \(\left( C \right)\).
Tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại \(O\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \overrightarrow {OI} = (4; 3)\).
Suy ra \(\Delta \) có phương trình \(4x + 3y = 0.\)
Cách 2: Xét đường thẳng \(\Delta \) đi qua gốc tọa độ \(O \) và có hệ số góc \(k\), \(\Delta \) có phương trình \(y - kx = 0\).
Ta có: \(\Delta \) tiếp xúc với \(\left( C \right)\)\(\Leftrightarrow d(I,\Delta) = R\)\(\Leftrightarrow \dfrac{{\left| {3 - 4k} \right|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 5\)\(\Leftrightarrow {\left( {3 - 4k} \right)^2} = 25({k^2} + 1)\)
\(\Leftrightarrow 9 + 16{k^2} - 24k = 25{k^2} + 25\)\(\Leftrightarrow 9{k^2} + 24k + 16 = 0\)\(\Leftrightarrow k = - \dfrac{4}{3}.\)
Vậy ta được phương trình tiếp tuyến là:\(y + \dfrac{4}{3}x = 0\) hay\(4x + 3y = 0\).
Trường hợp \(\Delta \) không có hệ số góc \(\left( {\Delta \bot Ox} \right)\) có phương trình dạng \(x + c = 0\).
\(O\left( {0; 0} \right) \in \Delta \) \(\Rightarrow 0 + c = 0 \Leftrightarrow c = 0\) ta được đường thẳng \(x = 0\).
Dễ thấy \(d\left( {I,\Delta } \right) = 4 \ne 5 = R\) nên \(\Delta \) không tiếp xúc với \(\left( C \right)\).
Vậy trường này không thỏa mãn nên chí có duy nhất một tiếp tuyến cần tìm là \(4x + 3y = 0\).