Bài 3.16 trang 154 SBT hình học 10

Câu hỏi: Cho ba điểm \(A(1; 4), B(-7; 4), C(2;-5)\).

Câu a​

Lập phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) ngoại tiếp tam giác \(ABC\) ;
Phương pháp giải:
- Gọi phương trình đường tròn là \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\).
- Thay tọa độ các điểm \(A, B, C\) vào \(\left( C \right)\).
- Giải hệ phương trình ẩn \(a, b, c\) và suy ra tâm, bán kính.
Lời giải chi tiết:
Phương trình của \(\left( C \right)\) có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\).
Ta có: \(A, B, C \in \left( C \right)\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{1^2} + {4^2} - 2a. 1 - 2b. 4 + c = 0\\
{\left({ - 7} \right)^2} + {4^2} - 2a.\left({ - 7} \right) - 2b. 4 + c = 0\\
{2^2} + {\left({ - 5} \right)^2} - 2a. 2 - 2b.\left({ - 5} \right) + c = 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
17 - 2a - 8b + c = 0\\
65 + 14a - 8b + c = 0\\
29 - 4a + 10b + c = 0
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a - 8b + c =  - 17\\14a - 8b + c =  - 65\\ - 4a + 10b + c =  - 29\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 3\\b =  - 1\\c =  - 31\end{array} \right.\)
Vậy phương trình của \(\left( C \right)\) là: \({x^2} + {y^2} + 6x + 2y - 31 = 0\)

Câu b​

Tìm tâm và bán kính của \(\left( C \right)\).
Phương pháp giải:
- Gọi phương trình đường tròn là \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\).
- Thay tọa độ các điểm \(A, B, C\) vào \(\left( C \right)\).
- Giải hệ phương trình ẩn \(a, b, c\) và suy ra tâm, bán kính.
Lời giải chi tiết:
\(\left( C \right)\) có tâm là điểm \((- 3 ; - 1)\) và có bán kính bằng \(\sqrt {{a^2} + {b^2} - c}  = \sqrt {41} \).