Google
Câu hỏi: Giả sử hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a; b} \right]\). Chứng minh rằng: \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f(\sin x)dx} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f(\cos x)dx} \)
Phương pháp giải
Đổi biến số \(x = \dfrac{\pi }{2} - t\) tính tích phân \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f(\sin x)dx} \)
Lời giải chi tiết
Đổi biến số \(x = \dfrac{\pi }{2} - t\), ta được: \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f(\sin x)dx} \)\(= - \int\limits_{\dfrac{\pi }{2}}^0 {f\left[ {\sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - t} \right)} \right]dt} \) \(= \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f(\cos t)dt} \)
Hay \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f(\sin x)dx} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f(\cos x)dx} \)
Đổi biến số \(x = \dfrac{\pi }{2} - t\) tính tích phân \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f(\sin x)dx} \)
Lời giải chi tiết
Đổi biến số \(x = \dfrac{\pi }{2} - t\), ta được: \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f(\sin x)dx} \)\(= - \int\limits_{\dfrac{\pi }{2}}^0 {f\left[ {\sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - t} \right)} \right]dt} \) \(= \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f(\cos t)dt} \)
Hay \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f(\sin x)dx} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f(\cos x)dx} \)