Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $F\left( x \right),G\left( x \right)$ là hai nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F\left( 2 \right)+G\left( 2 \right)=4$ và $F\left( 1 \right)+G\left( 1 \right)=1$. Khi đó $\int\limits_{0}^{\pi }{\sin \dfrac{x}{2}f\left( \cos \dfrac{x}{2}+1 \right)}dx$ bằng
A. $6$.
B. $\dfrac{3}{2}$.
C. $3$.
D. $\dfrac{3}{4}$.
A. $6$.
B. $\dfrac{3}{2}$.
C. $3$.
D. $\dfrac{3}{4}$.
Đặt $t=\cos \dfrac{x}{2}+1\Rightarrow dt=-\dfrac{1}{2}\sin \dfrac{x}{2}dx$. Khi $x=0\Rightarrow t=2;x=\pi \Rightarrow t=1$ nên:
$I=\int\limits_{0}^{\pi }{\sin \dfrac{x}{2}f\left( \cos \dfrac{x}{2}+1 \right)}dx=2\int\limits_{1}^{2}{f\left( t \right)dt}$
Vậy $I=2\left( F\left( 2 \right)-F\left( 1 \right) \right)$ hoặc $I=2\left( G\left( 2 \right)-G\left( 1 \right) \right)$ nên:
$2I=2\left( F\left( 2 \right)+G\left( 2 \right)-F\left( 1 \right)-G\left( 1 \right) \right)=2\left( 4-1 \right)=6$.
$I=\int\limits_{0}^{\pi }{\sin \dfrac{x}{2}f\left( \cos \dfrac{x}{2}+1 \right)}dx=2\int\limits_{1}^{2}{f\left( t \right)dt}$
Vậy $I=2\left( F\left( 2 \right)-F\left( 1 \right) \right)$ hoặc $I=2\left( G\left( 2 \right)-G\left( 1 \right) \right)$ nên:
$2I=2\left( F\left( 2 \right)+G\left( 2 \right)-F\left( 1 \right)-G\left( 1 \right) \right)=2\left( 4-1 \right)=6$.
Đáp án A.