Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng hàm số \(f\left( x \right)\) cho bởi \(f(x) = \int\limits_0^x {\dfrac{t}{{\sqrt {1 + {t^4}} }}dt} , x \in \mathbb{R}\) là hàm số chẵn.
Phương pháp giải
Đặt \(t = - s\) suy ra tích phân mới theo biến \(s\), chứng minh \(f\left( { - x} \right) = f\left(x \right)\).
Chú ý công thức: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^b {f\left(t \right)dt} \).
Lời giải chi tiết
Đặt \(t = - {\rm{ }}s\) ta có \(dt = - ds\), đổi cận \(t = 0 \Rightarrow s = 0\), \(t = x \Rightarrow s = - x\).
Suy ra \(f(x) = \int\limits_0^x {\dfrac{t}{{\sqrt {1 + {t^4}} }}dt} \) \(= \int\limits_0^{ - x} {\dfrac{{ - s}}{{\sqrt {1 + {{\left( { - s} \right)}^4}} }}\left({ - ds} \right)} \)\(= \int\limits_0^{ - x} {\dfrac{s}{{\sqrt {1 + {{\left( { - s} \right)}^4}} }}ds} = f\left({ - x} \right)\)
Do đó \(f\left( x \right) = f\left({ - x} \right),\forall x \in \mathbb{R}\), suy ra hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn.
Đặt \(t = - s\) suy ra tích phân mới theo biến \(s\), chứng minh \(f\left( { - x} \right) = f\left(x \right)\).
Chú ý công thức: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^b {f\left(t \right)dt} \).
Lời giải chi tiết
Đặt \(t = - {\rm{ }}s\) ta có \(dt = - ds\), đổi cận \(t = 0 \Rightarrow s = 0\), \(t = x \Rightarrow s = - x\).
Suy ra \(f(x) = \int\limits_0^x {\dfrac{t}{{\sqrt {1 + {t^4}} }}dt} \) \(= \int\limits_0^{ - x} {\dfrac{{ - s}}{{\sqrt {1 + {{\left( { - s} \right)}^4}} }}\left({ - ds} \right)} \)\(= \int\limits_0^{ - x} {\dfrac{s}{{\sqrt {1 + {{\left( { - s} \right)}^4}} }}ds} = f\left({ - x} \right)\)
Do đó \(f\left( x \right) = f\left({ - x} \right),\forall x \in \mathbb{R}\), suy ra hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn.